Calcule.
(0,1)^{-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular (0,1)^{-2}. O conteúdo envolvido é a imagem de um intervalo real por uma função potência. Para isso, vamos usar a definição de potência de conjuntos e estudar o comportamento da função
f(x)=x^{-2}
no domínio (0,1).

Passo 2

Por definição, dado um intervalo I\subset\mathbb{R} e um expoente a\in\mathbb{R}, definimos
I^{a} = \{\,x^{a}\mid x\in I\}.
Assim,
(0,1)^{-2} = \{\,x^{-2}\mid x\in(0,1)\}.

Passo 3

Estudamos f(x)=x^{-2}=1/x^2 em (0,1). Calculando a derivada,
f'(x) = -2\,x^{-3} < 0 \quad\text{para todo }x\in(0,1),
logo f é estritamente decrescente em (0,1).

Passo 4

Analisamos os limites nos extremos de (0,1):
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac1{x^2}=+\infty,
\lim_{x\to1^-}f(x)=\frac1{1^2}=1.
Como f é decrescente, a imagem f((0,1)) é o intervalo aberto cujo menor valor é 1 (não atingido) e que cresce sem limite. Logo,
(0,1)^{-2} = (1,\infty).

Resposta

(1,\infty)

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