Questão 3
Antes de iniciar o exercício: Substitua os números do seu RA correspondentes à letra \boldsymbol{a}.
Ache V tal que: V \times(i+j+k)=i-2 j+k. Sabe-se também que V e W=(a,-a, a) são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um vetor V tal que
V \times (\,\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}\,)=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}
e que, além disso, V seja ortogonal ao vetor W=(a,-a,a).
Informações dadas:
  • O vetor \mathbf{u}=\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k} tem coordenadas (1,1,1).
  • O vetor alvo do produto vetorial é \mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}, com coordenadas (1,-2,1).
  • W=(a,-a,a) e sabemos que V\perp W (ou seja, V\cdot W=0).
    O que precisamos achar: todas as componentes de V que satisfazem simultaneamente o produto vetorial e a ortogonalidade com W.

Passo 2

Vamos parametrizar V pelas suas componentes. Seja
V=(x,y,z).
Lembra do produto vetorial em coordenadas cartesianas: para dois vetores A=(A_x,A_y,A_z) e B=(B_x,B_y,B_z) vale
A\times B = (A_y B_z - A_z B_y,\; A_z B_x - A_x B_z,\; A_x B_y - A_y B_x).
Aqui A=V=(x,y,z) e B=\mathbf{u}=(1,1,1). Aplicando a fórmula:
V\times \mathbf{u} = (y\cdot 1 - z\cdot 1,\; z\cdot 1 - x\cdot 1,\; x\cdot 1 - y\cdot 1) = (y-z,\; z-x,\; x-y).

Passo 3

Impondo que esse resultado seja (1,-2,1)\), obtemos o sistema \[\begin{cases} y - z = 1,\\[4pt] z - x = -2,\\[4pt] x - y = 1. \end{cases}
Resolve passo a passo:
  • Da terceira equação \,x-y=1\] vem \[x = y+1.\] - Da primeira equação \(\,y-z=1 vem
z = y-1.
  • Substituindo x=y+1 e z=y-1 na segunda equação z-x=-2:
(y-1) - (y+1) = -2 \quad\Rightarrow\quad -2=-2,
que é uma identidade. Isso significa que as três equações não são independentes: há um parâmetro livre. Concluímos que todas as soluções do produto vetorial têm a forma (escrevendo em função de y):
V=(x,y,z)=(y+1,\; y,\; y-1).
Uma forma vetorial útil é
V = y(1,1,1) + (1,0,-1),
isto é, a família de vetores \{(y+1,y,y-1)\mid y\in\mathbb{R}\}.]

Passo 4

Agora impomos a ortogonalidade com W=(a,-a,a). A condição V\cdot W=0
(y+1)\,a + y(-a) + (y-1)\,a = 0.
Calculemos o somatório dentro dos colchetes:
a(y+1) - a y + a(y-1) = a\bigl((y+1)-y+(y-1)\bigr) = a\cdot y.
Portanto a condição vira
a\,y = 0.
Dessa equação seguem duas possibilidades:
  • Se a\neq 0, então necessariamente y=0.
  • Se a=0, então a\,y=0 é verdade para todo y, ou seja, não impõe restrição adicional (pois W é o vetor nulo e é ortogonal a qualquer vetor).

Passo 5

Tratando cada caso separadamente:
Caso 1: a\neq 0. Então y=0. Substituindo em V=(y+1,y,y-1) obtemos
V=(1,0,-1).
Vamos verificar rapidamente (coisa que dá pra fazer na prova): o produto vetorial
(1,0,-1)\times(1,1,1)=(0-(-1),\;-1-1,\;1-0)=(1,-2,1),
bate com o exigido; e o produto escalar com W é
(1,0,-1)\cdot(a,-a,a)=a-0-a=0,
logo a ortogonalidade também se confirma.
Caso 2: a=0. Então W=(0,0,0) e a condição V\perp W é automática; qualquer vetor que satisfaça o produto vetorial serve. Assim todas as soluções são
V=(y+1,y,y-1),\qquad y\in\mathbb{R}.

Resposta

Se a\neq 0: V=(1,0,-1)
Se a=0: V=(y+1,y,y-1),\\ y\in\mathbb{R}

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