Questão 3
Antes de iniciar o exercício: Substitua os números do seu RA correspondentes à letra
.
Ache
tal que:
. Sabe-se também que
e
são ortogonais.
Ache
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um vetor
tal que
e que, além disso,
seja ortogonal ao vetor
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- O vetor
tem coordenadas . - O vetor alvo do produto vetorial é
, com coordenadas . -
e sabemos que (ou seja, ).
O que precisamos achar: todas as componentes deque satisfazem simultaneamente o produto vetorial e a ortogonalidade com .
Passo 2
Vamos parametrizar
pelas suas componentes. Seja
Lembra do produto vetorial em coordenadas cartesianas: para dois vetores
e
vale
Aqui
e
. Aplicando a fórmula:
Passo 3
Impondo que esse resultado seja
Resolve passo a passo:
- Da terceira equação vem
- Substituindo
e na segunda equação :
que é uma identidade. Isso significa que as três equações não são independentes: há um parâmetro livre. Concluímos que todas as soluções do produto vetorial têm a forma (escrevendo em função de
):
Uma forma vetorial útil é
isto é, a família de vetores
.]
Passo 4
Agora impomos a ortogonalidade com
. A condição
dá
Calculemos o somatório dentro dos colchetes:
Portanto a condição vira
Dessa equação seguem duas possibilidades:
- Se
, então necessariamente . - Se
, então é verdade para todo , ou seja, não impõe restrição adicional (pois é o vetor nulo e é ortogonal a qualquer vetor).
Passo 5
Tratando cada caso separadamente:
Caso 1:
. Então
. Substituindo em
obtemos
Vamos verificar rapidamente (coisa que dá pra fazer na prova): o produto vetorial
bate com o exigido; e o produto escalar com
é
logo a ortogonalidade também se confirma.
Caso 2:
. Então
e a condição
é automática; qualquer vetor que satisfaça o produto vetorial serve. Assim todas as soluções são
Resposta
Se
:
Se :
Se