Calcule a matriz adjunta de:
C=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular a matriz adjunta (também chamada adjugada) de C.
Informações relevantes:
  • A matriz C é 3\times3.
  • O que se pede: a matriz adjunta \operatorname{adj}\text{(C)}.]

Passo 2

O que é a matriz adjunta e como vamos calculá‑la (explicação didática):
  • Primeiro calculamos a matriz dos cofatores de C. Cada cofator A_{ij} é dado por
A_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde M_{ij} é a matriz 2\times2 obtida de C eliminando a linha i e a coluna j.
  • Depois, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}\text{(C)}=\big(A_{ij}\big)^{\!\mathsf{T}}.
Comentário prático: para 3\times3 cada \det(M_{ij}) é um determinante de uma 2\times2, fácil de calcular como \det\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}=ad-bc.

Passo 3

Calculando os cofatores da primeira linha ( i=1):
  • Para A_{11}: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa
M_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{11})=1\cdot1-0\cdot2=1.
O cofator é
A_{11}=(-1)^{1+1}\det(M_{11})=+1\cdot1=1.
  • Para A_{12}: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa
M_{12}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{12})=2\cdot1-0\cdot3=2.
O cofator é
A_{12}=(-1)^{1+2}\det(M_{12})=-1\cdot2=-2.
  • Para A_{13}: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa
M_{13}=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{13})=2\cdot2-1\cdot3=4-3=1.
O cofator é
A_{13}=(-1)^{1+3}\det(M_{13})=+1\cdot1=1.]

Passo 4

Calculando os cofatores da segunda linha ( i=2):
  • Para A_{21}: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa
M_{21}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{21})=0\cdot1-2\cdot2= -4.
O cofator é
A_{21}=(-1)^{2+1}\det(M_{21})=-1\cdot(-4)=4.
  • Para A_{22}: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa
M_{22}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{22})=1\cdot1-2\cdot3=1-6=-5.
O cofator é
A_{22}=(-1)^{2+2}\det(M_{22})=+1\cdot(-5)=-5.
  • Para A_{23}: eliminar linha 2 e coluna 3 deixa
M_{23}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]3 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{23})=1\cdot2-0\cdot3=2.
O cofator é
A_{23}=(-1)^{2+3}\det(M_{23})=-1\cdot2=-2.]

Passo 5

Calculando os cofatores da terceira linha ( i=3):
  • Para A_{31}: eliminar linha 3 e coluna 1 deixa
M_{31}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{31})=0\cdot0-2\cdot1=-2.
O cofator é
A_{31}=(-1)^{3+1}\det(M_{31})=+1\cdot(-2)=-2.
  • Para A_{32}: eliminar linha 3 e coluna 2 deixa
M_{32}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{32})=1\cdot0-2\cdot2=-4.
O cofator é
A_{32}=(-1)^{3+2}\det(M_{32})=-1\cdot(-4)=4.
  • Para A_{33}: eliminar linha 3 e coluna 3 deixa
M_{33}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
O determinante é \det(M_{33})=1\cdot1-0\cdot2=1.
O cofator é
A_{33}=(-1)^{3+3}\det(M_{33})=+1\cdot1=1.]

Passo 6

Matriz dos cofatores (colocando A_{ij} na posição (i,j)):
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\[4pt] A_{21} & A_{22} & A_{23}\\[4pt] A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\[4pt] 4 & -5 & -2\\[4pt] -2 & 4 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Transpõe‑se a matriz dos cofatores para obter a adjunta:
\operatorname{adj}\text{(C)}= \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2\\[4pt] -2 & -5 & 4\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): calcular \det\text{(C)} e checar \,C\operatorname{adj}\text{(C)}=\det\text{(C)}I.
  • Calcula‑se \det\text{(C)} por regra de Sarrus ou expansão:
\det\text{(C)}=1\cdot(1\cdot1-0\cdot2)-0\cdot(2\cdot1-0\cdot3)+2\cdot(2\cdot2-1\cdot3)=1+2=3.
  • Multiplicando C por \operatorname{adj}\text{(C)} obtém‑se 3I. Isso confirma que a adjunta está correta.

Resposta

\operatorname{adj}\text{(C)}= \begin{pmatrix} 1 & 4 & -2\\[4pt] -2 & -5 & 4\\[4pt] 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}]

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