Calcule a matriz adjunta de:
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para calcular a matriz adjunta (também chamada adjugada) de
.
Informações relevantes:
- A matriz
é . - O que se pede: a matriz adjunta
.]
Passo 2
O que é a matriz adjunta e como vamos calculá‑la (explicação didática):
- Primeiro calculamos a matriz dos cofatores de
. Cada cofator é dado por
onde
é a matriz
obtida de
eliminando a linha
e a coluna
.
- Depois, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Comentário prático: para
cada
é um determinante de uma
, fácil de calcular como
.
Passo 3
Calculando os cofatores da primeira linha (
):
- Para
: eliminar linha 1 e coluna 1 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
- Para
: eliminar linha 1 e coluna 2 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
- Para
: eliminar linha 1 e coluna 3 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
Passo 4
Calculando os cofatores da segunda linha (
):
- Para
: eliminar linha 2 e coluna 1 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
- Para
: eliminar linha 2 e coluna 2 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
- Para
: eliminar linha 2 e coluna 3 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
Passo 5
Calculando os cofatores da terceira linha (
):
- Para
: eliminar linha 3 e coluna 1 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
- Para
: eliminar linha 3 e coluna 2 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
- Para
: eliminar linha 3 e coluna 3 deixa
O determinante é
.
O cofator é
O cofator é
Passo 6
Matriz dos cofatores (colocando
na posição
):
Passo 7
Transpõe‑se a matriz dos cofatores para obter a adjunta:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas útil para garantir que não houve erro): calcular
e checar
.
- Calcula‑se
por regra de Sarrus ou expansão:
- Multiplicando
por obtém‑se . Isso confirma que a adjunta está correta.