x 2 3 4 5
P(X=x) 0,2 0,6 0,1 0,1
Calcule:
10a) E(X) e Var(X)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a Esperança $ E(X) $ e a Variância $ \operatorname{Var}(X) $ de uma variável aleatória $ X $. A tabela nos dá os valores de $ X $ e suas respectivas probabilidades $ P(X=x) $. Para isso, vamos precisar usar as fórmulas de esperança e variância que envolvem somas de produtos de valores e probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a Esperança $ E(X) $. A esperança é como a média ponderada dos valores de $ X $ pelas suas probabilidades. A fórmula é:
E(X)

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula usando os dados da tabela:
E(X) = 2 cdot 0,2 + 3 cdot 0,6 + 4 cdot 0,1 + 5 cdot 0,1
E(X) = 0,4 + 1,8 + 0,4 + 0,5 = 3,1

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância $ \operatorname{Var}(X) $. A variância mede o quanto os valores de $ X $ estão espalhados em relação à média. A fórmula é:
Var(X)
Onde $ E(X^2) $ é a esperança do quadrado de $ X $.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $:
E(X^2)
E(X^2) = sum x^2 cdot P(X = x)
E(X^2) = 2^2 cdot 0,2 + 3^2 cdot 0,6 + 4^2 cdot 0,1 + 5^2 cdot 0,1
E(X^2) = 4 cdot 0,2 + 9 cdot 0,6 + 16 cdot 0,1 + 25 cdot 0,1

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da variância:
Var(X) = 10,3 - (3,1)^2
Var(X) = 10,3 - 9,61 = 0,69

Resposta

A Esperança $ E(X) $ é 3,1 e a Variância $ \operatorname{Var}(X) $ é 0,69.

Exercícios relacionados