f(x)=2 x, 0
9a) Mostre que essa função é uma densidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função $ f(x) = 2x $ definida no intervalo $ 0 < x < 1 $ é uma função densidade. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade, especificamente sobre Funções Densidade de Probabilidade. Para resolver isso, precisamos verificar duas coisas:
  1. Se a função é sempre não negativa no intervalo.
  2. Se a integral da função nesse intervalo é igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se $ f(x) $ é não negativa no intervalo $ 0 < x < 1 $.
Sabemos que $ f(x) = 2x $. Como $ x $ está entre 0 e 1, multiplicar por 2 não muda o sinal. Então, $ f(x) $ é sempre positivo nesse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 para ver se ela soma 1. A integral de uma função densidade de probabilidade nesse intervalo deve ser igual a 1.
f(x)
Vamos resolver essa integral:
integral0^1 2x , dx
Agora, avaliamos de 0 a 1:
integral 2x , dx = 2 cdot x^22 = x^2

Passo 4

Como a função $ f(x) = 2x $ é sempre não negativa no intervalo $ 0 < x < 1 $ e a integral dela nesse intervalo é igual a 1, podemos concluir que ela é, de fato, uma função densidade de probabilidade.

Resposta

A função $ f(x) = 2x $ é uma função densidade.

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