9a) Mostre que essa função é uma densidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a função $ f(x) = 2x $ definida no intervalo $ 0 < x < 1 $ é uma função densidade. Isso está dentro do conteúdo de Probabilidade, especificamente sobre Funções Densidade de Probabilidade. Para resolver isso, precisamos verificar duas coisas:
- Se a função é sempre não negativa no intervalo.
- Se a integral da função nesse intervalo é igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se $ f(x) $ é não negativa no intervalo $ 0 < x < 1 $.
Sabemos que $ f(x) = 2x $. Como $ x $ está entre 0 e 1, multiplicar por 2 não muda o sinal. Então, $ f(x) $ é sempre positivo nesse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 para ver se ela soma 1. A integral de uma função densidade de probabilidade nesse intervalo deve ser igual a 1.
Vamos resolver essa integral:
Agora, avaliamos de 0 a 1:
Passo 4
Como a função $ f(x) = 2x $ é sempre não negativa no intervalo $ 0 < x < 1 $ e a integral dela nesse intervalo é igual a 1, podemos concluir que ela é, de fato, uma função densidade de probabilidade.
Resposta
A função $ f(x) = 2x $ é uma função densidade.