A quantidade de tempo em dias que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
f(x)=2 x, 0
Assim que o componente falha, ele é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo. Se Xi representa o tempo de vida do i-ésimo componente utilizado, então
Sn=sumi=1^n xi
representa o instante da n-ésima falha. A taxa de falhas r a longo prazo é definida por
r=lim n infty nSn
Supondo que as variáveis aleatórias X1, ldots, Xn sejam independentes, determine r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a quantidade de tempo que um componente funciona antes de falhar, representado por uma variável aleatória com uma função de densidade. A matéria aqui envolve probabilidade, especialmente variáveis aleatórias e médias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esperanças matemáticas e aplicar a Lei dos Grandes Números.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a função densidade de probabilidade dada:
f(x) = 2x, 0 < x < 1
Isso significa que a probabilidade de o componente falhar em um certo tempo $ x $ entre 0 e 1 dias é dada por $ 2x $.

Passo 3

Vamos calcular a esperança matemática $ E[X] $ da variável aleatória $ X $, que nos dá o tempo médio que o componente funciona antes de falhar. A fórmula para a esperança é:
E[X]
Substituindo $ f(x) $ na equação:
X

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
2 integral0^1 x^2 , dx = 2 [ x^33 ]0^1 = 2 ( 13 - 0 ) = 23
Então, a esperança $ E[X] = \frac{2}{3} $ dias.

Passo 5

A taxa de falhas $ r $ a longo prazo é definida como:
r
Pela Lei dos Grandes Números, sabemos que:
r = limn to infty nSn
Isso significa que:
Snn approx E[X] para n grande

Resposta

Portanto, a taxa de falhas $ r $ é:
r

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