A quantidade de tempo em dias que certo tipo de componente funciona antes de falhar é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
Assim que o componente falha, ele é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo. Se
representa o tempo de vida do i-ésimo componente utilizado, então
representa o instante da
-ésima falha. A taxa de falhas
a longo prazo é definida por
Supondo que as variáveis aleatórias
sejam independentes, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a quantidade de tempo que um componente funciona antes de falhar, representado por uma variável aleatória com uma função de densidade. A matéria aqui envolve probabilidade, especialmente variáveis aleatórias e médias. Para resolver, vamos precisar entender como calcular esperanças matemáticas e aplicar a Lei dos Grandes Números.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a função densidade de probabilidade dada:
Isso significa que a probabilidade de o componente falhar em um certo tempo $ x $ entre 0 e 1 dias é dada por $ 2x $.
Passo 3
Vamos calcular a esperança matemática $ E[X] $ da variável aleatória $ X $, que nos dá o tempo médio que o componente funciona antes de falhar. A fórmula para a esperança é:
Substituindo $ f(x) $ na equação:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
Então, a esperança $ E[X] = \frac{2}{3} $ dias.
Passo 5
A taxa de falhas $ r $ a longo prazo é definida como:
Pela Lei dos Grandes Números, sabemos que:
Isso significa que:
Resposta
Portanto, a taxa de falhas $ r $ é: