Use a integral tripla para determinar o volume
V\left(\mathbb{S}^{2}\right)=\iiint_{\mathbb{S}^{2}} d V
da esfera \mathbb{S}^{2} dada por
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede o volume
V\bigl(\mathbb{S}^2\bigr)=\iiint_{\mathbb{S}^2}dV
da esfera unidade definida por x^2+y^2+z^2=1. Vamos usar coordenadas esféricas e a fórmula da integral tripla.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com 0\le r\le1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi. O fator de escala (Jacobian) é
J = r^2\sin\varphi.

Passo 3

Substituindo na integral de volume, temos
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} r^2\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{1} r^2\,dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}.
Logo
V = \frac{1}{3}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_0^\pi = 2.
Fica
V = \frac{2}{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta.

Passo 6

Por fim, integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi,
de modo que
V = \frac{2}{3}\cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{4\pi}{3}.

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