Resolva, para x \in \mathbb{R}, as equações/inequações
3^{2 x-1}=5

Passo 1

O enunciado pede: resolver para x\in\mathbb{R} a equação
3^{2x-1}=5.
Informações dadas:
  • A equação tem uma potência com base 3 e expoente 2x-1.
  • O objetivo é encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Entendimento do tipo de equação e ideia de solução (sem resolver ainda).
  • Temos uma equação exponencial do tipo a^{f(x)}=b, com a>0 e a\neq1. Para esse tipo de equação podemos usar logaritmos para “trazer o expoente para frente”.
  • Lembrete prático do que é logaritmo: para a>0, a\neq1, e b>0,
a^{y}=b \quad\Longleftrightarrow\quad y=\log_{a}b.
Também podemos aplicar o logaritmo natural \ln (ou qualquer outra base) em ambos os lados, usando a propriedade
\ln\big(a^{y}\big)=y\ln a.
Isso nos permite transformar uma potência em um produto, facilitando isolar x.

Passo 3

Aplicar logaritmo natural nos dois lados da equação.
  • Começamos aplicando \ln em ambos os membros de \,3^{2x-1}=5. Como 3>0 e 5>0, a operação é válida e preserva a igualdade.
\ln\big(3^{2x-1}\big)=\ln 5.

Passo 4

Usar a propriedade \ln(a^{y})=y\ln a para simplificar o lado esquerdo.
  • Aplicando a propriedade ao lado esquerdo obtemos:
(2x-1)\ln 3=\ln 5.
Aqui \ln 3 e \ln 5 são números fixos (constantes). A expressão (2x-1) é o fator que multiplica \ln 3.

Passo 5

Isolar x resolvendo a equação linear obtida.
  • Dividindo ambos os lados por \ln 3 (note que \ln 3\neq0) obtemos
2x-1=\frac{\ln 5}{\ln 3}.
  • Agora somamos 1 aos dois lados:
2x=1+\frac{\ln 5}{\ln 3}.
  • Finalmente dividimos por 2:
x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\ln 5}{\ln 3}.
Observação alternativa: como \log_{3}5=\dfrac{\ln 5}{\ln 3}, a solução também pode ser escrita como
x=\frac{1+\log_{3}5}{2}.

Passo 6

Calcular uma aproximação numérica (útil para checar).
  • Usando valores aproximados \ln 5\approx1,6094379 e \ln 3\approx1,0986123, temos
\frac{\ln 5}{\ln 3}\approx1,4649735.
  • Então
x\approx\frac{1+1,4649735}{2}=\frac{2,4649735}{2}\approx1,2324868.
Arredondando, x\approx1,2325.

Resposta

x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\ln 5}{2\ln 3}\approx1,2325

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