Resolva, para
, as equações/inequações
Passo 1
O enunciado pede para resolver, no conjunto dos reais, a equação
Informações dadas e observações imediatas:
- A incógnita é
e o domínio é . - A base da exponencial é
, que é positiva e maior que . - O lado direito é
, que é positivo.
A tarefa é encontrar todos osque satisfazem .
Passo 2
Por que faz sentido procurar uma solução? Explicando a ideia básica (sem resolver ainda):
- A função
é contínua e estritamente crescente, e seu conjunto imagem (valores possíveis) é . Como , existe pelo menos uma solução. Como a função é estritamente crescente, essa solução é única.
Isto garante que a equação tem exatamente uma solução real.
Passo 3
Como encontrar essa solução na prática (introdução ao logaritmo como inversa):
- Para “desfazer” uma exponencial do tipo
com e , usamos o logaritmo, que é a função inversa da exponencial. Pelo fato de ser inversa de , tem-se imediatamente
Isto já é uma forma correta e exata da solução: o valor de
é o logaritmo de
na base
.
Passo 4
Usando propriedades dos logaritmos para uma forma prática (fórmula e justificativa passo a passo):
- Uma propriedade importante do logaritmo é que, para qualquer base de logaritmo (por exemplo
, o logaritmo natural), vale
- Justificativa: aplicar
em ambos os lados de (isso é permitido porque é definida em ) dá
- Usando a propriedade
obtemos
- Isolando
resulta
Passo 5
Interpretações, estimativas e exemplos para fixar:
- Da desigualdade
conclui-se que , ou seja, a solução fica entre e . Isso é útil para checar plausibilidade de um valor numérico. - Aproximação numérica (útil na prova se for permitido usar calculadora):
e . Portanto
- Exemplos rápidos para treinar a mesma ideia:
- Se
, então (aqui dá para ver sem log porque ). - Se
, então .
- Se
Passo 6
Resumo do método (para usar na prova):
- Verifique se o lado direito é positivo (caso contrário não haveria solução real para base positiva).
- Use logaritmo (qualquer base serve; ln é comum) e aplique a propriedade
. - Isole
e, se necessário, calcule a aproximação numérica. - Sempre faça um checape com valores fáceis (
) para garantir que o resultado caiba no intervalo esperado.