Resolva, para x \in \mathbb{R}, as equações/inequações
5^{x}=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos reais, a equação
5^{x}=3.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é x e o domínio é x\in\mathbb{R}.
  • A base da exponencial é 5, que é positiva e maior que 1.
  • O lado direito é 3, que é positivo.
    A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem \;5^{x}=3.

Passo 2

Por que faz sentido procurar uma solução? Explicando a ideia básica (sem resolver ainda):
  • A função x\mapsto 5^{x} é contínua e estritamente crescente, e seu conjunto imagem (valores possíveis) é (0,\infty). Como 3>0, existe pelo menos uma solução. Como a função é estritamente crescente, essa solução é única.
    Isto garante que a equação tem exatamente uma solução real.

Passo 3

Como encontrar essa solução na prática (introdução ao logaritmo como inversa):
  • Para “desfazer” uma exponencial do tipo a^{x}=b com a>0 e b>0, usamos o logaritmo, que é a função inversa da exponencial. Pelo fato de \log_a ser inversa de a^{(\cdot)}, tem-se imediatamente
x=\log_{5}3.
Isto já é uma forma correta e exata da solução: o valor de x é o logaritmo de 3 na base 5.

Passo 4

Usando propriedades dos logaritmos para uma forma prática (fórmula e justificativa passo a passo):
  • Uma propriedade importante do logaritmo é que, para qualquer base de logaritmo (por exemplo \ln, o logaritmo natural), vale
\log_{5}3=\frac{\ln 3}{\ln 5}.
  • Justificativa: aplicar \ln em ambos os lados de \;5^{x}=3 (isso é permitido porque \ln é definida em (0,\infty)) dá
\ln\!(5^{x})=\ln 3.
  • Usando a propriedade \ln\!(a^{b})=b\ln a obtemos
x\ln 5=\ln 3.
  • Isolando x resulta
x=\frac{\ln 3}{\ln 5}.

Passo 5

Interpretações, estimativas e exemplos para fixar:
  • Da desigualdade 5^{0}=1<3<5^{1}=5 conclui-se que 0<x<1, ou seja, a solução fica entre 0 e 1. Isso é útil para checar plausibilidade de um valor numérico.
  • Aproximação numérica (útil na prova se for permitido usar calculadora):
    \ln 3\approx 1,0986122887 e \ln 5\approx 1,6094379124. Portanto
x=\frac{\ln 3}{\ln 5}\approx 0,6826.
  • Exemplos rápidos para treinar a mesma ideia:
    • Se 2^{x}=8, então x=\log_{2}8=3 (aqui dá para ver sem log porque 8=2^{3}).
    • Se 2^{x}=7, então x=\dfrac{\ln 7}{\ln 2}\approx 2,8074.

Passo 6

Resumo do método (para usar na prova):
  • Verifique se o lado direito é positivo (caso contrário não haveria solução real para base positiva).
  • Use logaritmo (qualquer base serve; ln é comum) e aplique a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a.
  • Isole x e, se necessário, calcule a aproximação numérica.
  • Sempre faça um checape com valores fáceis ( 5^{0},5^{1}) para garantir que o resultado caiba no intervalo esperado.

Resposta

x=\dfrac{\ln 3}{\ln 5}
x\approx 0,6826

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