(3 pts) A temperatura em certa placa elíptica
é dada por
. Usando, também, um multiplicador de Lagrange, determine os pontos de menor e maior temperatura nessa placa.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de temperatura na placa definida pela região
para a função de temperatura
. O conteúdo usado será otimização com restrição, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos a função de restrição
e calculamos os gradientes
Passo 3
Pelo método de Lagrange, impomos
ou seja,
juntamente com a restrição
Passo 4
Das duas primeiras equações obtemos duas expressões para
:
Igualando-as:
Pela restrição
, substituímos e achamos:
Passo 5
Para
, da restrição vem
Para
, temos
Os pontos candidatos são
,
e
.
Passo 6
Calculamos
em cada ponto:
Passo 7
Comparando os valores,
concluímos que o valor mínimo
ocorre em
e o valor máximo
ocorre em
.
Resposta
O mínimo de temperatura é
em
e o máximo é
em
.