(3 pts) A temperatura em certa placa elíptica
\frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leq 1
é dada por f(x, y)=x y+x. Usando, também, um multiplicador de Lagrange, determine os pontos de menor e maior temperatura nessa placa.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo de temperatura na placa definida pela região
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}\le1
para a função de temperatura f(x,y)=xy+x. O conteúdo usado será otimização com restrição, aplicando o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos a função de restrição
g(x,y)=\frac{x^{2}}{4}+y^{2}-1=0
e calculamos os gradientes
\nabla f(x,y)=(y+1,\;x), \qquad \nabla g(x,y)=\Bigl(\frac{x}{2},\;2y\Bigr).

Passo 3

Pelo método de Lagrange, impomos
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y),
ou seja,
y+1=\lambda\frac{x}{2}, \quad x=\lambda\,2y,
juntamente com a restrição
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1.

Passo 4

Das duas primeiras equações obtemos duas expressões para \lambda:
\lambda=\frac{2(y+1)}{x}, \quad \lambda=\frac{x}{2y}.
Igualando-as:
\frac{2(y+1)}{x}=\frac{x}{2y} \quad\Longrightarrow\quad 4y(y+1)=x^{2}.
Pela restrição x^{2}=4(1-y^{2}), substituímos e achamos:
4y(y+1)=4(1-y^{2}) \quad\Longrightarrow\quad 2y^{2}+y-1=0 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad y=-1.

Passo 5

Para y=\tfrac12, da restrição vem
x^{2}=4\bigl(1-(\tfrac12)^{2}\bigr)=4\cdot\frac{3}{4}=3 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
Para y=-1, temos
x^{2}=4\bigl(1-1\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0.
Os pontos candidatos são
(\sqrt{3},\tfrac12), (-\sqrt{3},\tfrac12) e (0,-1).

Passo 6

Calculamos f em cada ponto:
f(\sqrt{3},\tfrac12) =\sqrt{3}\,\frac12+\sqrt{3} =\tfrac{3}{2}\sqrt{3},
f(-\sqrt{3},\tfrac12) =-\sqrt{3}\,\frac12-\sqrt{3} =-\tfrac{3}{2}\sqrt{3},
f(0,-1)=0\cdot(-1)+0=0.

Passo 7

Comparando os valores,
-\tfrac{3}{2}\sqrt{3}<0<\tfrac{3}{2}\sqrt{3},
concluímos que o valor mínimo -\tfrac{3}{2}\sqrt{3} ocorre em (-\sqrt{3},\tfrac12) e o valor máximo \tfrac{3}{2}\sqrt{3} ocorre em (\sqrt{3},\tfrac12).

Resposta

O mínimo de temperatura é -\tfrac{3}{2}\sqrt{3} em \bigl(-\sqrt{3},\tfrac12\bigr) e o máximo é \tfrac{3}{2}\sqrt{3} em \bigl(\sqrt{3},\tfrac12\bigr).

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