Calcule d xd x e d yd x :
lx^2+4 y^2+z^2-12=0 x^2+y^2-2 z-1=0 no ponto A(2,1,2)

Passo 1

Temos o sistema
F(x,y,z) = x^2+4y^2+z^2-12 = 0, G(x,y,z) = x^2+y^2-2z-1 = 0,
que, pelo Teorema da Função Implícita, nos permite ver y e z como funções de x perto de A(2,1,2). Queremos calcular
dxdx (que será óbvio) e dydx em A.

Passo 2

Diferenciando implicitamente cada equação em relação a x, usando a regra da cadeia, obtemos
Fx + Fy,y' + Fz,z' = 0, Gx + Gy,y' + Gz,z' = 0,
onde usamos y'=dfracdydx e z'=dfracdzdx. Note que dfracdxdx=1.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Fx = 2x, Fy = 8y, Fz = 2z,
Gx = 2x, Gy = 2y, Gz = -2
Substituindo na diferenciação implícita:
2x + 8y,y' + 2z,z' = 0, 2x + 2y,y' - 2,z' = 0

Passo 4

Avaliaremos em A(2,1,2). Primeiro substituímos x=2, y=1, z=2:
2cdot2 + 8cdot1,y' + 2cdot2,z' = 0 Longrightarrow 4 + 8y' + 4z' = 0 ;Longrightarrow; 2y' + z' = -1,
2cdot2 + 2cdot1,y' - 2,z' = 0 Longrightarrow 4 + 2y' - 2z' = 0 ;Longrightarrow; y' - z' = -2

Passo 5

Resolvendo o sistema
2y' + z' = -1, y' - z' = -2,
somamos as equações:
3y' = -3 ;Longrightarrow; y' = -1
Em seguida, de y' - z' = -2 obtemos z' = 1.

Resposta

dxdx = 1
dydx = -1

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