- Explique a relação de aproximar uma função linear de um plano tangente com o conceito de diferenciabilidade
Passo 1
O enunciado pede para explicar como a ideia de aproximar uma função por um plano tangente está ligada ao conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. O conteúdo envolve definição de diferenciabilidade, aproximação linear e construção do plano tangente.
Passo 2
Começamos lembrando a definição de diferenciabilidade. Dizemos que
é diferenciável em
se existir um mapa linear
tal que, para
pequenos,
Aqui
significa que o erro da aproximação cresce mais devagar que a distância
ao ponto
.
Passo 3
Em geral, esse mapa linear
é dado pelas derivadas parciais de
em
. Especificamente,
Isso vem do fato de que, para uma boa aproximação de primeira ordem, usamos as taxas de variação nas duas direções coordenadas.
Passo 4
Agora construímos o plano tangente: fixamos
e escrevemos
Em forma explícita,
Esse
é o plano que “tange” o gráfico de
em
.
Passo 5
A conexão é então a seguinte:
ser diferenciável em
significa exatamente que seu gráfico pode ser aproximado, localmente, por esse plano tangente
, com erro que é insignificante em relação à distância até
. Em outras palavras, diferenciabilidade é sinônimo de existência de aproximação linear de primeira ordem — isto é, do plano tangente.
Resposta
A diferenciabilidade de
em
equivale à existência de um plano tangente
que aproxima
de forma que o erro seja
. Esse plano é justamente a forma linear que define a aproximação de primeira ordem da função.