1. Explique a relação de aproximar uma função linear de um plano tangente com o conceito de diferenciabilidade

Passo 1

O enunciado pede para explicar como a ideia de aproximar uma função por um plano tangente está ligada ao conceito de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. O conteúdo envolve definição de diferenciabilidade, aproximação linear e construção do plano tangente.

Passo 2

Começamos lembrando a definição de diferenciabilidade. Dizemos que f(x,y) é diferenciável em (a,b) se existir um mapa linear L:R^2toR tal que, para (h,k) pequenos,
f(a+h,b+k) - f(a,b) - L(h,k) = ol(raizh^2+k^2r)
Aqui o(raizh^2+k^2) significa que o erro da aproximação cresce mais devagar que a distância raizh^2+k^2 ao ponto (a,b).

Passo 3

Em geral, esse mapa linear L é dado pelas derivadas parciais de f em (a,b). Especificamente,
L(h,k) = fx(a,b),h ;+; fy(a,b),k
Isso vem do fato de que, para uma boa aproximação de primeira ordem, usamos as taxas de variação nas duas direções coordenadas.

Passo 4

Agora construímos o plano tangente: fixamos (x,y)=(a+h,b+k) e escrevemos
Pi(x,y) = f(a,b) + Ll(x-a,;y-br)
Em forma explícita,
Pi(x,y) = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)
Esse Pi(x,y) é o plano que “tange” o gráfico de f em (a,b,f(a,b)).

Passo 5

A conexão é então a seguinte: f ser diferenciável em (a,b) significa exatamente que seu gráfico pode ser aproximado, localmente, por esse plano tangente Pi(x,y), com erro que é insignificante em relação à distância até (a,b). Em outras palavras, diferenciabilidade é sinônimo de existência de aproximação linear de primeira ordem — isto é, do plano tangente.

Resposta

A diferenciabilidade de f em (a,b) equivale à existência de um plano tangente
Pi(x,y) = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b)
que aproxima f de forma que o erro seja ol(raiz(x-a)^2+(y-b)^2r). Esse plano é justamente a forma linear que define a aproximação de primeira ordem da função.

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