Calcule dd x e d^2d x^2 das funções a seguir:
(b) f(y)=45+4.5 y-5 y^2

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a primeira e a segunda derivada da função $ f(y) = 45 + 4.5,y - 5,y^{2} $. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, mais especificamente usando regras de derivação para funções polinomiais. Vamos usar as regras básicas de derivadas para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(y) $ em relação a $ y $, que é representada por $ \frac{d}{dy}f(y) $.
A derivada de uma função polinomial é calculada derivando cada termo separadamente. As regras que vamos usar são:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de $ a,y^{n} $ é $ a,n,y^{n-1} $.
Aplicando isso:
  1. Derivada de 45:
    f(y)
  2. Derivada de $ 4.5,y $:
    y
  3. Derivada de $ -5,y^{2} $:
    ddyf(y)
Agora, somamos todas as derivadas:
a,y^n

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. Representamos isso por $ \frac{d{2}}{dy{2}}f(y) $.
A primeira derivada que encontramos é $ 4.5 - 10,y $. Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de 4.5:
    d^2dy^2f(y)
  2. Derivada de $ -10,y $:
    4.5 - 10,y
Somando as derivadas:
ddy(4.5) = 0

Resposta

A primeira derivada de $ f(y) $ é $ f’(y) = 4.5 - 10,y $ e a segunda derivada é $ f’’(y) = -10 $.

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