|ccc 1 & 2 & gamma de<a & 1 & 1 1 & gamma+de<a & 2 |=1
calcule
|ccc 1 & 2 & gamma de<a & de<a gamma+de<a^2 & 2 de<a de<a gamma & gamma & gamma |

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes A e B:
A = 1 & 2 & gamma de<a & 1 & 1 1 & gamma+de<a & 2 ,
com det A = 1, e
B = 1 & 2 & gamma de<a & de<agamma+de<a^2 & 2de<a de<agamma & gamma & gamma ,
e pede-se det B. Vamos usar propriedades de determinantes (multilinearidade e permutação de linhas).

Passo 2

Observe que as linhas de B se relacionam com as de A assim:
  • linha1(B) = linha1(A).
  • linha2(B) = de<acdotl(1,;gamma+de<a,;2r) = de<a;linha3(A).
  • linha3(B) = gammacdotl(de<a,;1,;1r) = gamma;linha2(A).

Passo 3

Pela multilinearidade em linhas, extraímos os fatores de<a e gamma das linhas 2 e 3 de B:
det B = de<a,gamma;det linha1(A) linha3(A) linha2(A)
Mas trocar a ordem das linhas 2 e 3 de A é uma única transposição, que inverte o sinal do determinante. Logo,
det linha1(A) linha3(A) linha2(A) = -,det A = -1
Portanto
det B = de<a,gamma times (-1) = -,de<agamma

Resposta

-de<agamma

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