Sempre que possivel, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
g) [llll1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
A = 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 1
Isso é um caso clássico de matriz triangular unitária (diagonal de uns), de modo que podemos escrever A = I + M, onde M é estritamente triangular superior e nilpotente. Vamos usar a série finita
A^-1 = (I+M)^-1 = I - M + M^2 - M^3,
pois M^4=0.

Passo 2

Definimos
M = A - I = 0 & 2 & 3 & 4 0 & 0 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 ,
que satisfaz M^k=0 para todo k>=4.

Passo 3

Calculamos M^2 e M^3 pelas somas dos produtos apropriados:
M^2 = 0 & 0 & 4 & 12 0 & 0 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 , M^3 = 0 & 0 & 0 & 8 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Passo 4

Aplicando a fórmula da série finita,
A^-1 = I - M + M^2 - M^3
Basta somar termo a termo essas matrizes.

Passo 5

Fazendo as subtrações e adições, obtemos
A^-1 = 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 1

Resposta

A^-1 = 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 1 & -2 0 & 0 & 0 & 1

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