Calcule 5^25 bmod 7

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular 5^25 bmod 7. Aqui estamos lidando com aritmética modular, que é uma forma de calcular o resto da divisão de números grandes de maneira mais simples. Para resolver isso, vamos precisar entender como os expoentes funcionam em módulo e identificar padrões que facilitem nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 5^25 bmod 7. Basicamente, queremos descobrir qual é o resto quando 5^25 é dividido por 7. Calcular 5^25 diretamente seria bem complicado, então vamos buscar uma maneira mais fácil.

Passo 3

Uma ferramenta muito útil aqui é o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que se p é um número primo e a é um número que não é múltiplo de p, então a^p-1 equiv 1 pmodp. No nosso caso, p = 7 (que é primo) e a = 5 (não é múltiplo de 7). Então, segundo o teorema:
5^7-1 = 5^6 equiv 1 pmod7

Passo 4

Agora, queremos encontrar 5^25 bmod 7. Podemos dividir o expoente 25 pelo ciclo que encontramos, que é 6 (devido ao Pequeno Teorema de Fermat). Vamos ver quantas vezes 6 cabe em 25:
25 = 6 times 4 + 1
Isso significa que:
5^25 = 5^6 times 4 + 1 = (5^6)^4 times 5^1

Passo 5

Sabemos que 5^6 equiv 1 pmod7, então substituindo:
(5^6)^4 times 5^1 equiv 1^4 times 5 pmod7
Como 1^4 = 1, fica:
1 times 5 = 5

Resposta

Portanto, 5^25 bmod 7 = 5.

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