Calcule 5555^777+777^555 bmod 11

Passo 1

O enunciado pede para calcular
5555^777 + 777^555 bmod 11
Aqui vamos usar aritmética modular e o Teorema de Fermat, que diz que, para primo p e inteiro a não divisível por p, vale
a^p-1equiv1pmod p

Passo 2

Reduzimos 5555 módulo 11. Como
5555 = 11 times 505,
temos
5555 equiv 0 bmod 11,
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5555^777equiv0^777equiv0bmod 11

Passo 3

Reduzimos 777 módulo 11. Como
777 = 11 times 70 + 7,
temos
777equiv7bmod 11
e portanto
777^555equiv7^555bmod 11

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Fermat para a=7 e p=11:
7^10equiv1bmod 11
Como 555equiv5bmod10, segue
7^555equiv7^5bmod11
Calculando:
7^2=49equiv5, 7^4equiv5^2=25equiv3, 7^5equiv3cdot7=21equiv10bmod11

Passo 5

Somamos os resultados parciais módulo 11:
5555^777+777^555equiv0+10equiv10bmod11

Resposta

;10

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