Use congruências para provar os critérios de divisibilidade por
e 11
Passo 1
Queremos demonstrar, usando congruências, os critérios de divisibilidade por
e
. A ideia geral é escrever um inteiro
em base decimal e usar as propriedades de
para extrair testes simples sobre os dígitos de
.
Passo 2
Seja
onde cada
é um dígito entre
e
. Vamos examinar
módulo cada divisor.
Passo 3
Critérios para 2 e 5
Como
Como
segue que
Portanto
-
é divisível por se, e somente se, for par. -
é divisível por se, e somente se, for ou .
Passo 4
Critério para 3
Como
Como
então para todo
Logo
e
é divisível por
se, e somente se, a soma de todos os dígitos for múltipla de
.
Passo 5
Critério para 11
Como
Como
segue que
Portanto
isto é, a soma alternada dos dígitos deve ser múltipla de
.
Passo 6
Critério para 7
Sabemos
Sabemos
Escrevendo
com
e
, temos
Multiplicando por
, inverso de
em
, obtemos
Como
é múltiplo de
se, e só se,
o for, concluímos que
é divisível por
se, e só se,
for múltiplo de
. Notando que
, um procedimento prático é: “pegar o número truncado
, subtrair duas vezes o último dígito
e repetir até ficar pequeno; se o resultado for múltiplo de
, então
também é.”
Resposta
Critérios de divisibilidade:
- 2: último dígito par.
- 5: último dígito igual a 0 ou a 5.
- 3: soma dos dígitos múltipla de 3.
- 11: soma alternada dos dígitos múltipla de 11.
- 7: “truncar o último dígito, subtrair duas vezes esse dígito do truncado e repetir”; se o resultado final for múltiplo de 7, então o número original também é.