Use congruências para provar os critérios de divisibilidade por 2,3,5,7 e 11

Passo 1

Queremos demonstrar, usando congruências, os critérios de divisibilidade por 2,3,5,7 e 11. A ideia geral é escrever um inteiro N em base decimal e usar as propriedades de
10pmod d
para extrair testes simples sobre os dígitos de N.

Passo 2

Seja
N = an,10^n + an-1,10^n-1 + cdots + a1,10 + a0,
onde cada ai é um dígito entre 0 e 9. Vamos examinar N módulo cada divisor.

Passo 3

Critérios para 2 e 5
Como
10 equiv 0 pmod2, 10 equiv 0 pmod5,
segue que
N equiv a0 pmod2, N equiv a0 pmod5
Portanto
  • N é divisível por 2 se, e somente se, a0 for par.
  • N é divisível por 5 se, e somente se, a0 for 0 ou 5.

Passo 4

Critério para 3
Como
10 equiv 1 pmod3,
então para todo k
10^k equiv 1^k = 1 pmod3
Logo
N equiv an + an-1 + cdots + a1 + a0 pmod3,
e N é divisível por 3 se, e somente se, a soma de todos os dígitos for múltipla de 3.

Passo 5

Critério para 11
Como
10 equiv -1 pmod11,
segue que
10^k equiv (-1)^k pmod11
Portanto
N equiv a0 - a1 + a2 - a3 + cdots pmod11,
isto é, a soma alternada dos dígitos deve ser múltipla de 11.

Passo 6

Critério para 7
Sabemos
10 equiv 3 pmod7
Escrevendo N = 10q + r com r=a0 e q=lfloor N/10rfloor, temos
N equiv 10q + r equiv 3q + r pmod7
Multiplicando por 5, inverso de 3 em Bbb Z7, obtemos
5N equiv 5r + q pmod7
Como 5N é múltiplo de 7 se, e só se, N o for, concluímos que N é divisível por 7 se, e só se,
q + 5r
for múltiplo de 7. Notando que 5equiv -2pmod7, um procedimento prático é: “pegar o número truncado q, subtrair duas vezes o último dígito r e repetir até ficar pequeno; se o resultado for múltiplo de 7, então N também é.”

Resposta

Critérios de divisibilidade:
  • 2: último dígito par.
  • 5: último dígito igual a 0 ou a 5.
  • 3: soma dos dígitos múltipla de 3.
  • 11: soma alternada dos dígitos múltipla de 11.
  • 7: “truncar o último dígito, subtrair duas vezes esse dígito do truncado e repetir”; se o resultado final for múltiplo de 7, então o número original também é.

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