Defina o inverso multiplicativo de [a]n módulo n.

Passo 1

O enunciado pede a definição de inverso multiplicativo de [a]n no anel Z/nZ. Vamos usar o conceito de elemento neutro multiplicativo [1]n e a condição de existência de inverso, que ocorre exatamente quando gcd(a,n)=1.

Passo 2

Chamamos de inverso multiplicativo de [a]n módulo n a classe [b]n que satisfaz
[a]ncdot[b]n = [1]n
Em termos de representantes, isso equivale a encontrar um inteiro b tal que
a,b equiv 1 pmodn
A existência de b ocorre se, e somente se, gcd(a,n)=1, e nesse caso b (e portanto [b]n) é único.

Resposta

O inverso multiplicativo de [a]n módulo n é a classe [b]n tal que
[a]ncdot[b]n=[1]n,
existe se e somente se gcd(a,n)=1, e pode ser obtido pelo algoritmo de Euclides estendido.

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