Calcule:
[ll2 & -1 3 & -2]^k(k in N)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a potência de uma matriz, ou seja, elevar a matriz dada a um expoente k , onde k é um número natural. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente, como trabalhar com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer autovalores, autovetores e como diagonalizar uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que temos:
A = 2 & -1 3 & -2
Queremos encontrar A^k .

Passo 3

Para facilitar o cálculo de potências de uma matriz, podemos diagonalizar a matriz A . Isso significa escrever A como A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal composta pelos autovalores de A e P é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando:
det( 2 - lambda & -1 3 & -2 - lambda ) = (2 - lambda)(-2 - lambda) - (-1)(3) = 0
Simplificando:
(2 - lambda)(-2 - lambda) + 3 = 0 ( -4 - 2lambda + 2lambda + lambda^2 ) + 3 = 0 lambda^2 - 4 + 3 = 0 lambda^2 - 1 = 0 lambda = pm 1
Então, os autovalores são lambda1 = 1 e lambda2 = -1 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda1 = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
2 - 1 & -1 3 & -2 - 1 v1 v2 = 1 & -1 3 & -3 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: v1 - v2 = 0 v1 = v2 .
Então, um autovetor é v1 = 1 1 .
Para lambda2 = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
2 + 1 & -1 3 & -2 + 1 v1 v2 = 3 & -1 3 & -1 v1 v2 = 0 0
Da primeira equação: 3v1 - v2 = 0 v2 = 3v1 .
Então, um autovetor é v2 = 1 3 .

Passo 6

Agora, formamos a matriz P com os autovetores e a matriz diagonal D com os autovalores:
P = 1 & 1 1 & 3 , D = 1 & 0 0 & -1

Passo 7

Para encontrar A^k , usamos a propriedade de matrizes diagonalizadas:
A^k = P D^k P^-1
Calculamos D^k :
D^k = 1^k & 0 0 & (-1)^k = 1 & 0 0 & (-1)^k

Passo 8

Agora, precisamos encontrar P^-1 . Calculamos o determinante de P :
det(P) = (1)(3) - (1)(1) = 3 - 1 = 2
Então,
P^-1 = 1det(P) 3 & -1 -1 & 1 = 12 3 & -1 -1 & 1

Passo 9

Finalmente, montamos A^k :
A^k = P D^k P^-1 = 1 & 1 1 & 3 1 & 0 0 & (-1)^k 12 3 & -1 -1 & 1
Multiplicando as matrizes:
A^k = 1 cdot 1 + 1 cdot 0 & 1 cdot 0 + 1 cdot (-1)^k 1 cdot 1 + 3 cdot 0 & 1 cdot 0 + 3 cdot (-1)^k 12 3 & -1 -1 & 1
Simplificando:
A^k = 1 & (-1)^k 1 & 3(-1)^k 12 3 & -1 -1 & 1
Continuando a multiplicação:
A^k = 12 1 cdot 3 + (-1)^k cdot (-1) & 1 cdot (-1) + (-1)^k cdot 1 1 cdot 3 + 3(-1)^k cdot (-1) & 1 cdot (-1) + 3(-1)^k cdot 1
Simplificando cada termo:
A^k = 12 3 + (-1)^k+1 & -1 + (-1)^k 3 + 3(-1)^k+1 & -1 + 3(-1)^k

Resposta

Portanto, a potência k da matriz A é:
A^k = 12 3 + (-1)^k+1 & -1 + (-1)^k 3 + 3(-1)^k+1 & -1 + 3(-1)^k

Exercícios relacionados