Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a potência de uma matriz, ou seja, elevar a matriz dada a um expoente k , onde k é um número natural. O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente, como trabalhar com matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar conhecer autovalores, autovetores e como diagonalizar uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz que temos:
A = 2 & -1 3 & -2
Queremos encontrar A^k .
Passo 3
Para facilitar o cálculo de potências de uma matriz, podemos diagonalizar a matriz A . Isso significa escrever A como A = P D P^-1 , onde D é uma matriz diagonal composta pelos autovalores de A e P é a matriz cujas colunas são os autovetores correspondentes.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A . Para isso, resolvemos a equação característica: