Determine todas as matrizes que comutam com a matriz A=[ll1 & 1 0 & 0]

Passo 1

O enunciado pede todas as matrizes Xin M2(R) que comutam com
A = 1 & 10 & 0,
isto é, satisfazem XA=AX. Vamos usar a definição de produto de matrizes 2times 2 e comparar as entradas.

Passo 2

Escrevemos uma matriz genérica
e calculamos

Passo 3

Impor XA = AX equivale a comparar cada entrada:
1. Na posição (1,1): a = a + c Rightarrow c = 0.
2. Na posição (1,2): a = b + d Rightarrow b + d = a.
3. Nas posições (2,1) e (2,2): c = 0 (já obtido) e c = 0.

Passo 4

Das condições temos c=0 e d = a - b. Logo as matrizes que comutam com A são
X = a & b0 & d com d = a - b
Podemos parametrizar livremente a,binR.

Resposta

Todas as matrizes que comutam com A são
la & b0 & a - b;m|;a,binRr

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