Calcule:
[ccccmu1 & 0 & cdots & 0 0 & mu2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & mun]^k(k in N).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a k-ésima potência de uma matriz diagonal. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de matrizes e suas potências. Para resolver, vamos precisar entender como operar com matrizes diagonais e aplicar o conceito de potência de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. No nosso caso, a matriz é:
mu1 & 0 & cdots & 0 0 & mu2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & mun

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa elevar essa matriz à potência k. A potência de uma matriz, A^k , significa multiplicar a matriz A por si mesma k vezes. Para matrizes diagonais, isso é especialmente simples porque a multiplicação de matrizes diagonais resulta em outra matriz diagonal, onde cada elemento da diagonal é elevado à potência correspondente.

Passo 4

Vamos ver isso em detalhe. Quando multiplicamos uma matriz diagonal por ela mesma, cada elemento da diagonal é multiplicado pelo seu correspondente. Então, ao elevar a matriz à potência k, cada elemento da diagonal será multiplicado por ele mesmo k vezes, ou seja, será elevado à potência k.

Passo 5

Aplicando isso à nossa matriz, temos:
mu1 & 0 & cdots & 0 0 & mu2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & mun ^k = mu1^k & 0 & cdots & 0 0 & mu2^k & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & mun^k

Resposta

A k-ésima potência da matriz dada é:
mu1^k & 0 & cdots & 0 0 & mu2^k & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & mun^k

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