Seja A uma matriz invertível. Verifique que, para qualquer escalar
não-nulo,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui. Temos uma matriz
que é invertível, ou seja, ela tem um inverso
. O exercício quer que a gente mostre que, se a gente multiplica a matriz
por um número escalar
(que não é zero), o inverso dessa nova matriz
é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a inversão de matrizes e como a multiplicação por um escalar afeta essa inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Se
é invertível, então existe uma matriz
tal que:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o inverso de
, ou seja, uma matriz que multiplicada por
nos dá a matriz identidade:
Vamos chamar o inverso de
de
, então:
Passo 4
Queremos descobrir qual é
. Sabemos que
, então vamos tentar expressar
em termos de
.
Se multiplicarmos ambos os lados da equação
por
, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 5
Sabemos que
. Comparando isso com
, percebemos que
precisa ser
para que a equação seja verdadeira:
Resposta
Portanto, mostramos que: