Seja A uma matriz invertível. Verifique que, para qualquer escalar lambda, lambda não-nulo,
(lambda A)^-1=1lambda A^-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que precisa ser feito aqui. Temos uma matriz A que é invertível, ou seja, ela tem um inverso A^-1 . O exercício quer que a gente mostre que, se a gente multiplica a matriz A por um número escalar lambda (que não é zero), o inverso dessa nova matriz lambda A é igual a 1lambda A^-1 . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a inversão de matrizes e como a multiplicação por um escalar afeta essa inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Se A é invertível, então existe uma matriz A^-1 tal que:
A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I
Onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o inverso de lambda A , ou seja, uma matriz que multiplicada por lambda A nos dá a matriz identidade:
(lambda A) cdot (Inverso de lambda A) = I
Vamos chamar o inverso de lambda A de B , então:
lambda A cdot B = I

Passo 4

Queremos descobrir qual é B . Sabemos que A cdot A^-1 = I , então vamos tentar expressar B em termos de A^-1 .
Se multiplicarmos ambos os lados da equação lambda A cdot B = I por 1lambda , temos:
1lambda cdot (lambda A) cdot B = 1lambda cdot I
Simplificando o lado esquerdo:
(1lambda cdot lambda) A cdot B = 1lambda I
A cdot B = 1lambda I

Passo 5

Sabemos que A cdot A^-1 = I . Comparando isso com A cdot B = 1lambda I , percebemos que B precisa ser 1lambda A^-1 para que a equação seja verdadeira:
A cdot ( 1lambda A^-1 ) = 1lambda (A cdot A^-1) = 1lambda I

Resposta

Portanto, mostramos que:
(lambda A)^-1 = 1lambda A^-1

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