Calcule
|cccc2 & -1 & 4 & 3 -1 & 1 & 0 & 2 3 & 2 & 3 & -1 1 & -2 & 2 & -3|,

Passo 1

O enunciado pede o determinante de
A = 2 & -1 & 4 & 3 -1 & 1 & 0 & 2 3 & 2 & 3 & -1 1 & -2 & 2 & -3
O conteúdo aqui é expansão por cofatores (regra de Laplace). Vamos expandir ao longo da segunda linha, que tem um zero, para simplificar.

Passo 2

Pela regra de Laplace na segunda linha temos
det(A) = sumj=1^4 a2j(-1)^2+jdet(M2j) = (-1)^3(-1)det(M21) + (-1)^4(1)det(M22) + 0 + (-1)^6(2)det(M24),
ou seja
det(A)=det(M21) + det(M22) + 2,det(M24)

Passo 3

Vamos achar det(M21). Eliminando linha 2 e coluna 1 de A fica
M21 = -1 & 4 & 3 2 & 3 & -1 -2 & 2 & -3
Usando expansão pela primeira linha:
det(M21) = (-1)det3 & -12 & -3 -4det2 & -1-2 & -3 +3det2 & 3-2 & 2
Calculando cada menor:
det3 & -12 & -3=-7, det2 & -1-2 & -3=-8, det2 & 3-2 & 2=10
Logo
det(M21) = (-1)(-7) -4(-8) +3cdot10 =7 +32 +30 =69

Passo 4

Agora det(M22). Eliminando linha 2 e coluna 2:
M22 = 2 & 4 & 3 3 & 3 & -1 1 & 2 & -3
Expansão pela primeira linha dá
det(M22) =2det3 & -12 & -3 -4det3 & -11 & -3 +3det3 & 31 & 2
Os menores são
det3 & -12 & -3=-7, det3 & -11 & -3=-8, det3 & 31 & 2=3
Portanto
det(M22) =2(-7) -4(-8) +3cdot3 =-14 +32 +9 =27

Passo 5

Por fim det(M24). Eliminando linha 2 e coluna 4:
M24 = 2 & -1 & 4 3 & 2 & 3 1 & -2 & 2
Expansão pela primeira linha resulta em
det(M24) =2det2 & 3-2 & 2 -(-1)det3 & 31 & 2 +4det3 & 21 & -2
Calculando:
det2 & 3-2 & 2=10, det3 & 31 & 2=3, det3 & 21 & -2=-8
Logo
det(M24) =2cdot10 +1cdot3 +4(-8)=20+3-32=-9

Passo 6

Substituindo em det(A)=69 + 27 + 2cdot(-9) obtemos
det(A)=69 +27 -18 =78

Resposta

;78

Exercícios relacionados