Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
O conjunto
, de elementos
tal que
.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se um certo conjunto é um espaço vetorial. O conjunto em questão, chamado
, é formado por matrizes
do tipo:
mas com uma condição especial:
. Ou seja, o determinante dessas matrizes é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as regras que esse conjunto precisa seguir para ser considerado um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) que satisfazem certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que respeitem as regras de fechamento, associatividade, identidade, inversos, etc.
Então, para verificar se
é um espaço vetorial, precisamos checar se ele satisfaz todas essas propriedades. Uma das maneiras de fazer isso é verificar se
é fechado sob essas operações, ou seja, se somar duas matrizes de
ou multiplicar uma matriz de
por um escalar ainda resulta em uma matriz que pertence a
.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição. Se pegarmos duas matrizes
e
de
, ambas com determinante zero, será que
também terá determinante zero?
Vamos lembrar que o determinante de uma matriz
é dado por:
Agora, suponha que:
Então,
O determinante de
seria:
Expandindo isso, obtemos:
Sabemos que
e
, mas os outros termos não necessariamente cancelam. Portanto,
não precisa ser zero.
Passo 4
Como vimos, ao somar duas matrizes de
, o determinante da matriz resultante
pode não ser zero. Isso significa que
não necessariamente pertence a
. Ou seja,
não é fechado sob a operação de adição.
Como uma das propriedades fundamentais de um espaço vetorial não está satisfeita, já podemos concluir que
não é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial porque não é fechado sob a operação de adição.