Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
O conjunto V=M2 times 2, de elementos [lla & b c & d] tal que a d-b c=0.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente precisa determinar se um certo conjunto é um espaço vetorial. O conjunto em questão, chamado V , é formado por matrizes 2 times 2 do tipo:
a & b c & d
mas com uma condição especial: a cdot d - b cdot c = 0 . Ou seja, o determinante dessas matrizes é zero. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e quais são as regras que esse conjunto precisa seguir para ser considerado um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (neste caso, matrizes) que satisfazem certas propriedades, como a existência de uma operação de adição e de multiplicação por escalar que respeitem as regras de fechamento, associatividade, identidade, inversos, etc.
Então, para verificar se V é um espaço vetorial, precisamos checar se ele satisfaz todas essas propriedades. Uma das maneiras de fazer isso é verificar se V é fechado sob essas operações, ou seja, se somar duas matrizes de V ou multiplicar uma matriz de V por um escalar ainda resulta em uma matriz que pertence a V .

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Se pegarmos duas matrizes A e B de V , ambas com determinante zero, será que A + B também terá determinante zero?
Vamos lembrar que o determinante de uma matriz 2 times 2 é dado por:
det(A) = a cdot d - b cdot c
Agora, suponha que:
A = a1 & b1 c1 & d1 , det(A) = a1d1 - b1c1 = 0
B = a2 & b2 c2 & d2 , det(B) = a2d2 - b2c2 = 0
Então,
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2
O determinante de A + B seria:
(a1 + a2)(d1 + d2) - (b1 + b2)(c1 + c2)
Expandindo isso, obtemos:
a1d1 + a1d2 + a2d1 + a2d2 - b1c1 - b1c2 - b2c1 - b2c2
Sabemos que a1d1 - b1c1 = 0 e a2d2 - b2c2 = 0 , mas os outros termos não necessariamente cancelam. Portanto, det(A + B) não precisa ser zero.

Passo 4

Como vimos, ao somar duas matrizes de V , o determinante da matriz resultante A + B pode não ser zero. Isso significa que A + B não necessariamente pertence a V . Ou seja, V não é fechado sob a operação de adição.
Como uma das propriedades fundamentais de um espaço vetorial não está satisfeita, já podemos concluir que V não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto V não é um espaço vetorial porque não é fechado sob a operação de adição.

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