Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
O conjunto V=R^3, de elementos (x, y, z) tal que x+4 y-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto V = R^3 formado pelos elementos (x, y, z) que satisfazem a equação x + 4y - z = 0 é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre espaços vetoriais e subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (números reais, no caso), obedecendo certas regras, como existência de um vetor zero, fechamento da soma e da multiplicação por escalar, entre outras.

Passo 3

Agora, como nosso conjunto V está definido por uma equação linear x + 4y - z = 0 , a gente pode pensar nele como uma “restrição” no espaço tridimensional R^3 . Para verificar se V é um espaço vetorial, precisamos checar três coisas básicas:
  1. Existe o vetor zero no conjunto.
  2. Fechamento pela soma: se você pegar dois vetores de V e somar, o resultado também está em V .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: se você pegar um vetor de V e multiplicar por um número real, o resultado também está em V .

Passo 4

Vamos começar verificando se o vetor zero está em V . O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0) . Substituindo na equação:
0 + 4 times 0 - 0 = 0
Isso confirma que (0, 0, 0) pertence a V .

Passo 5

Agora, vamos ver o fechamento pela soma. Suponha que temos dois vetores u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) em V . Isso significa que:
x1 + 4y1 - z1 = 0
x2 + 4y2 - z2 = 0
Vamos somar esses vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Vamos verificar se a soma satisfaz a equação de V :
(x1 + x2) + 4(y1 + y2) - (z1 + z2) = (x1 + 4y1 - z1) + (x2 + 4y2 - z2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma está em V .

Passo 6

Por último, vamos conferir o fechamento pela multiplicação por escalar. Seja u = (x, y, z) em V e c um número real. A multiplicação por c dá:
cu = (c x, c y, c z)
Vamos verificar se esse vetor está em V :
c x + 4(c y) - c z = c(x + 4y - z) = c times 0 = 0
Portanto, cu também está em V .

Resposta

Sim, o conjunto V = R^3 definido por x + 4y - z = 0 é um espaço vetorial, pois contém o vetor zero, é fechado pela soma e pela multiplicação por escalar.

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