Determine se os seguintes conjuntos são espaços vetoriais
O conjunto
, de elementos
tal que
.
O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto
formado pelos elementos
que satisfazem a equação
é um espaço vetorial. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre espaços vetoriais e subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de elementos chamados vetores que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalares (números reais, no caso), obedecendo certas regras, como existência de um vetor zero, fechamento da soma e da multiplicação por escalar, entre outras.
Passo 3
Agora, como nosso conjunto
está definido por uma equação linear
, a gente pode pensar nele como uma “restrição” no espaço tridimensional
. Para verificar se
é um espaço vetorial, precisamos checar três coisas básicas:
- Existe o vetor zero no conjunto.
- Fechamento pela soma: se você pegar dois vetores de
e somar, o resultado também está em . - Fechamento pela multiplicação por escalar: se você pegar um vetor de
e multiplicar por um número real, o resultado também está em .
Passo 4
Vamos começar verificando se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação:
Isso confirma que
pertence a
.
Passo 5
Agora, vamos ver o fechamento pela soma. Suponha que temos dois vetores
e
em
. Isso significa que:
Vamos somar esses vetores:
Vamos verificar se a soma satisfaz a equação de
:
Então, a soma está em
.
Passo 6
Por último, vamos conferir o fechamento pela multiplicação por escalar. Seja
em
e
um número real. A multiplicação por
dá:
Vamos verificar se esse vetor está em
:
Portanto,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
definido por
é um espaço vetorial, pois contém o vetor zero, é fechado pela soma e pela multiplicação por escalar.