Calcule d^320 arctan d x^320(0) e d^321 arctan d x^321(0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de ordem 320 e 321 de arctan x avaliadas em 0. O conteúdo principal é a série de Taylor de arctan x em torno de 0 e como extrair coeficientes para obter derivadas.

Passo 2

A série de Taylor de arctan x em torno de 0 é
arctan x = sumn=0^infty (-1)^n2n+1,x^2n+1

Passo 3

Em geral, se numa série de potências
f(x)=sumk=0^inftyak,x^k,
então
f^(k)(0)=k!,ak

Passo 4

Na série de arctan x não aparecem termos de grau par, logo para qualquer ordem par k=2n temos a2n=0 e portanto
f^(2n)(0)=0
Já para ordem ímpar k=2n+1, o coeficiente é a2n+1=(-1)^n/(2n+1), de onde
f^(2n+1)(0)=(2n+1)!cdot(-1)^n2n+1=(2n)!,(-1)^n

Passo 5

Aplicando aos pedidos: para k=320 (par) fica
f^(320)(0)=0,
e para k=321 escreveu-se 2n+1=321 dando n=160, então
f^(321)(0)=(320)!,(-1)^160=320!

Resposta

d^320arctan xdx^320(0)=0 e d^321arctan xdx^321(0)=320!

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