Use
, sen
e divisão longa para determinar os पuzt primeiros termos não nulos de uma série de Laurent da função dada que seja válida para
.
Passo 1
O exercício pede a série de Laurent de
válida em
. Vamos usar a expansão em série de Taylor de
e depois fazer a divisão longa (ou equivalentes) para obter
.
Passo 2
A série de Taylor de
em torno de zero é
Passo 3
Como queremos
, supomos uma série do tipo
Multiplicamos termo a termo por
Passo 4
Multiplicando
$$\Bigl(\tfrac{1}{z}+A_1z+A_3z3+A_5z5+\cdots\Bigr)\Bigl(z-\tfrac{z3}{6}+\tfrac{z5}{120}-\tfrac{z^7}{5040}+\cdots\Bigr)=1,
$$
expandimos e colamos coeficientes de potências de para zerar tudo, exceto o termo constante igual a 1.
expandimos e colamos coeficientes de potências de
Passo 5
Igualando coeficientes obtemos as equações:
- termo
: (já está como ), - termo
: ⇒ , - termo
: ⇒ , - termo
: ⇒ .