Use cos z=1-z^22!+z^44!-cdots, sen z=z-z^33!+z^55!-cdots e divisão longa para determinar os पuzt primeiros termos não nulos de uma série de Laurent da função dada que seja válida para 0<|z|.
f(z)=csc z

Passo 1

O exercício pede a série de Laurent de f(z)=csc z válida em 0<|z|. Vamos usar a expansão em série de Taylor de sin z e depois fazer a divisão longa (ou equivalentes) para obter 1/sin z.

Passo 2

A série de Taylor de sin z em torno de zero é
sin z=z-z^33!+z^55!-z^77!+cdots

Passo 3

Como queremos csc z=1/sin z, supomos uma série do tipo
csc z=1z+A1z+A3z^3+A5z^5+cdots
Multiplicamos termo a termo por sin z e igualamos a 1.

Passo 4

Multiplicando
$$\Bigl(\tfrac{1}{z}+A_1z+A_3z3+A_5z5+\cdots\Bigr)\Bigl(z-\tfrac{z3}{6}+\tfrac{z5}{120}-\tfrac{z^7}{5040}+\cdots\Bigr)=1,
$$
expandimos e colamos coeficientes de potências de l(tfrac1z+A1z+A3z^3+A5z^5+cdotsr)l(z-tfracz^36+tfracz^5120-tfracz^75040+cdotsr)=1, para zerar tudo, exceto o termo constante igual a 1.

Passo 5

Igualando coeficientes obtemos as equações:
  • termo z^0: A-1=1 (já está como 1/z),
  • termo z^2: A1-tfrac16=0 A1=tfrac16,
  • termo z^4: A3+tfrac1120-tfrac136=0 A3=tfrac7360,
  • termo z^6: A5-tfrac15040+tfrac1720-tfrac72160=0 A5=tfrac3115120.

Resposta

csc z=1z+16z+7360z^3+3115120z^5+cdots, 0<|z|

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