Use
, sen
e divisão longa para determinar os पuzt primeiros termos não nulos de uma série de Laurent da função dada que seja válida para
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Laurent de
em torno de
, válida para
. Vamos usar as séries de Taylor de coseno e seno e aplicar “divisão longa” (isto é, determinar coeficientes impondo que
).
Passo 2
As expansões em torno de
são as seguintes (até a ordem que nos interessa):
Passo 3
Suponho a forma da série de Laurent de
:
Deve valer
Passo 4
Coeficiente em
:
Multiplicando,
Multiplicando,
e como em
o termo constante é 1, temos
Passo 5
Coeficiente em
:
Dos produtos:
Dos produtos:
-
-
A soma deve ser o coeficiente deem , que é . Logo
Passo 6
Coeficiente em
:
Contribuições:
Contribuições:
-
-
-
Igualando ao coeficiente deem , que é , vem