Use cos z=1-z^22!+z^44!-cdots, sen z=z-z^33!+z^55!-cdots e divisão longa para determinar os पuzt primeiros termos não nulos de uma série de Laurent da função dada que seja válida para 0<|z|.
f(z)=cot z

Passo 1

O enunciado pede a série de Laurent de cot z em torno de z=0, válida para 0<|z|. Vamos usar as séries de Taylor de coseno e seno e aplicar “divisão longa” (isto é, determinar coeficientes impondo que sin zcdotcot z=cos z).

Passo 2

As expansões em torno de z=0 são as seguintes (até a ordem que nos interessa):
cos z=1-z^22!+z^44!+cdots
sin z=z-z^33!+z^55!+cdots

Passo 3

Suponho a forma da série de Laurent de cot z:
cot z=sumn>=-1, n ímparan,z^n =a-1z^-1+a1z+a3z^3+cdots í
Deve valer
sin zcdotcot z=cos z

Passo 4

Coeficiente em z^0:
Multiplicando,
zcdot a-1z^-1=a-1
e como em cos z o termo constante é 1, temos
a-1=1

Passo 5

Coeficiente em z^2:
Dos produtos:
  • zcdot a1z=a1z^2
  • -tfracz^36cdot a-1z^-1=-tfrac16z^2
    A soma deve ser o coeficiente de z^2 em cos z, que é -1/2. Logo
a1-tfrac16=-tfrac12 Longrightarrow a1=-tfrac12+tfrac16=-tfrac13

Passo 6

Coeficiente em z^4:
Contribuições:
  • zcdot a3z^3=a3z^4
  • -tfracz^36cdot a1z=+tfrac118z^4
  • +tfracz^5120cdot a-1z^-1=+tfrac1120z^4
    Igualando ao coeficiente de z^4 em cos z, que é +1/24, vem
a3+tfrac118+tfrac1120=tfrac124 Longrightarrow a3=-tfrac145

Resposta

cot z=1z-z3-z^345+cdots, válido para 0<|z|.

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