Usando a propriedade (5) encontre a derivada das funções abaixo

Passo 1

O enunciado pede a derivada de G(y)=l(y-y^2r)l(2y-y^tfrac43r). Vamos usar a regra do produto (propriedade (5)) e as derivadas básicas de potências para resolver.

Passo 2

Definimos f(y)=y-y^2 e g(y)=2y-y^tfrac43. A propriedade (5) (regra do produto) diz que (f,g)'=f',g+f,g'.

Passo 3

Calculamos as derivadas de f e g. Derivada de y é 1 e de y^2 é 2y, logo f'(y)=1-2y. Para g, derivada de 2y é 2 e de y^tfrac43 é tfrac43y^tfrac13, então g'(y)=2-tfrac43y^tfrac13.

Passo 4

Aplicamos imediatamente a regra do produto para obter:
G'(y)=(1-2y),(2y-y^tfrac43)+(y-y^2),l(2-tfrac43y^tfrac13r)

Passo 5

Agora expandimos e somamos termo a termo:
Expansão de (1-2y)(2y-y^tfrac43):
2y - y^tfrac43 - 4y^2 + 2y^tfrac73
Expansão de (y-y^2)(2-tfrac43y^tfrac13):
2y - tfrac43y^tfrac43 - 2y^2 + tfrac43y^tfrac73
Somando e combinando os termos semelhantes chegamos à forma simplificada da derivada.

Resposta

G'(y)=4y-6y^2-73y^tfrac43+103y^tfrac73

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