Usando a propriedade (5) encontre a derivada das funções abaixo
F(y)=raizy(y-2 raizy+2)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de F(y)=raizy(y-2raizy+2). Vamos usar a regra do produto (propriedade (5)) junto com a regra da cadeia para derivar raizy.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, definimos as duas funções:
u(y)=raizy=y^1/2,
v(y)=y-2raizy+2

Passo 3

Calculamos as derivadas de cada parte:
u'(y)=tfrac12y^-1/2,
v'(y)=ddy(y)-2ddy(raizy)+ddy(2)=1-2cdottfrac12y^-1/2=1-y^-1/2

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
F'(y)=u'(y)v(y)+u(y)v'(y)

Passo 5

Substituindo os valores e simplificando passo a passo, obtemos:
F'(y)=tfrac12y^-1/2(y-2y^1/2+2)+y^1/2(1-y^-1/2)
Ao desenvolver e juntar termos, chega-se a
F'(y)=tfrac32raizy+y^-1/2-2

Resposta

F'(y)=32raizy+y^-1/2-2

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