Calcule d^320 arctgd x^320(0) e d^321 arctgd x^321(0)

Passo 1

A questão pede para calcular as derivadas de ordem 320 e 321 de arctan(x) em x=0. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Maclaurin de funções (Taylor em torno de zero) e a relação entre o coeficiente de x^m nessa série e a derivada m-ésima em zero.

Passo 2

A série de Maclaurin de arctan(x) é dada por:
arctan(x) = sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1
Nessa expansão, não aparecem potências de ordem par. Sabendo que, em geral, se
f(x)=summ=0^infty am x^m,
então
f^(m)(0)=m!,am,
podemos relacionar coeficientes am às derivadas.

Passo 3

Como só existem termos com potência 2n+1, todas as derivadas de ordem par em zero serão zero. Para m=2n+1, o coeficiente é a2n+1=(-1)^n/(2n+1), logo
f^(2n+1)(0)=(2n+1)!,(-1)^n2n+1=(2n)!,(-1)^n

Passo 4

Agora, basta aplicar isso a cada caso:
  • Para m=320, como é par, temos
d^320,arctandx^320(0)=0
  • Para m=321, escreva 321=2n+1 com n=160. Então
d^321,arctandx^321(0)=(2cdot160)!,(-1)^160=320!,times1=320!

Resposta

d^320,arctandx^320(0)=0 e d^321,arctandx^321(0)=320!

Exercícios relacionados