Estime as integrais abaixo:
10^-5, com erro inferior a

Passo 1

A integral é integral0^1sinl(t^2r),dt. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor de sin(x) e integração termo a termo. Vamos usar essa série para estimar com erro menor que 10^-5.

Passo 2

Sabemos que a série de Taylor de sin(x) em torno de zero é
sin(x)=sumk=0^infty(-1)^k,x^2k+1(2k+1)!

Passo 3

Fazendo x=t^2, temos
sinl(t^2r)=sumk=0^infty(-1)^k,t^4k+2(2k+1)!

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a 1:
integral0^1sinl(t^2r),dt=sumk=0^infty(-1)^k,1(4k+3),(2k+1)!

Passo 5

Como é série alternada com termos decrescentes em módulo, o erro ao truncar após k=N é menor que o módulo do termo k=N+1. Queremos o primeiro N tal que
gl|(-1)^N+1(4(N+1)+3),(2(N+1)+1)!gr|<10^-5

Passo 6

Calculando os primeiros termos:
k=0:;13cdot1!=0,3333333, k=1:-17cdot3!=-0,0238095,
k=2:+111cdot5!=+0,0007576, k=3:-115cdot7!=-0,0000132,

Passo 7

o termo para k=4 tem módulo approx1,45times10^-7<10^-5. Ou seja, basta somar até k=3.

Passo 8

Somando até k=3:
0,3333333 - 0,0238095 + 0,0007576 - 0,0000132 approx 0,3102682

Resposta

0,31027

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