1. Determine os pontos críticos de um polinômio do tipo f(x)=a x^3+b x^2+c.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos do polinômio f(x)=a x^3+b x^2+c. O conteúdo envolve derivação de funções polinomiais e a ideia de ponto crítico, que é onde a derivada se anula.

Passo 2

Derivamos f(x) usando a regra de potência (derivada de x^n é n x^n-1). Então:
f'(x)=3a x^2+2b x

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
3a x^2+2b x=0
Fatorando x obtemos
x(3a x+2b)=0
Logo as soluções são
x=0 e 3a x+2b=0implies x=-2b3a

Passo 4

Se quisermos os pontos no plano (x,f(x)), calculamos:
f(0)=c
e
fl(-tfrac2b3ar)=al(-tfrac2b3ar)^3+bl(-tfrac2b3ar)^2+c=-8b^327a^2+4b^39a^2+c=4b^327a^2+c

Passo 5

Portanto, os pontos críticos no eixo x são x=0 e x=-tfrac2b3a; no plano eles são (0,c) e \bigl(-\tfrac{2b}{3a},\tfrac{4b3}{27a2}+c\bigr).

Resposta

Os pontos críticos são
$$x=0\quade\quad x=-\frac{2b}{3a}.
x=0e x=-2b3a (0,c)\quade\quad\Bigl(-\tfrac{2b}{3a},\tfrac{4b3}{27a2}+c\Bigr).$$

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