Mstre que um quadrado perfeito não pode ser conguente a 3 módulo 8 . Mostre que um número congruete a 3 módulo 8 não pode ser escrito como soma de dois quadrados.
Passo 1
O enunciado nos pede para provar duas coisas: que um quadrado perfeito não pode ser congruente a 3 módulo 8 e que, consequentemente, um número
não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Vamos usar o conceito de resíduos quadráticos módulo 8, analisando separadamente os casos em que o número é par ou ímpar.
Passo 2
Analisando
em função da paridade de
:
Se é par, escrevemos
e então
Se
Agora, se
é par,
e
Se
é ímpar,
e
Se
é ímpar, escrevemos
e
Como
é sempre par,
e segue que
Passo 3
Dos dois casos reunidos concluímos que todo quadrado perfeito satisfaz
logo não pode haver
. Isso prova a primeira parte.
Passo 4
Para a segunda parte, se um número
pudesse ser escrito como soma de dois quadrados,
, então teríamos
com
. Os possíveis somatórios
módulo 8 são
ou seja,
só pode ser congruente a
ou
módulo 8.
Passo 5
Como
, um número
não pode ser escrito como soma de dois quadrados
. Portanto, a segunda parte está comprovada.
Resposta
Concluímos que nenhum quadrado perfeito é congruente a
e, por isso, nenhum número congruente a
pode ser expresso como soma de dois quadrados.