Mstre que um quadrado perfeito não pode ser conguente a 3 módulo 8 . Mostre que um número congruete a 3 módulo 8 não pode ser escrito como soma de dois quadrados.

Passo 1

O enunciado nos pede para provar duas coisas: que um quadrado perfeito não pode ser congruente a 3 módulo 8 e que, consequentemente, um número Nequiv3pmod8 não pode ser escrito como soma de dois quadrados. Vamos usar o conceito de resíduos quadráticos módulo 8, analisando separadamente os casos em que o número é par ou ímpar.

Passo 2

Analisando n^2mod8 em função da paridade de n:
Se n é par, escrevemos n=2k e então
n^2 = (2k)^2 = 4k^2
Agora, se k é par, k=2m e
4k^2 = 4,(2m)^2 = 16m^2 equiv 0 pmod8
Se k é ímpar, k=2m+1 e
4k^2 = 4(2m+1)^2 = 4(4m^2+4m+1) = 16m^2+16m+4 equiv 4 pmod8
Se n é ímpar, escrevemos n=2k+1 e
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 +4k +1 = 4,k(k+1) +1
Como k(k+1) é sempre par, 4,k(k+1)equiv0pmod8 e segue que
n^2 equiv 1 pmod8

Passo 3

Dos dois casos reunidos concluímos que todo quadrado perfeito satisfaz
n^2 equiv 0,,1 ou 4 pmod8,
logo não pode haver n^2equiv3pmod8. Isso prova a primeira parte.

Passo 4

Para a segunda parte, se um número N pudesse ser escrito como soma de dois quadrados, N = a^2 + b^2, então teríamos
a^2equiv r1, b^2equiv r2 pmod8,
com r1,r2in0,1,4. Os possíveis somatórios r1+r2 módulo 8 são
0+0=0, 0+1=1, 0+4=4, 1+1=2, 1+4=5, 4+4=0,
ou seja, a^2 + b^2 só pode ser congruente a 0,1,2,4 ou 5 módulo 8.

Passo 5

Como 3notin0,1,2,4,5, um número Nequiv3pmod8 não pode ser escrito como soma de dois quadrados a^2+b^2. Portanto, a segunda parte está comprovada.

Resposta

Concluímos que nenhum quadrado perfeito é congruente a 3pmod8 e, por isso, nenhum número congruente a 3pmod8 pode ser expresso como soma de dois quadrados.

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