Calcule
.
59. Existe um número
tal que
exista? Caso afirmativo, encontre
e o valor do limite.
59. Existe um número
Passo 1
Temos duas subquestões de limite. No item (i)
vamos usar racionalização de conjugados para eliminar a indeterminação
.
No item (ii)
No item (ii)
precisamos encontrar
de modo que o limite seja finito, ou seja, que haja indeterminação do tipo
e, em seguida, fatorar e cancelar o fator comum.
Passo 2
Analisando o item (i), ao substituir
obtemos
e
, indeterminação
.
Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por :
Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por
Passo 3
Escrevendo
e racionalizando agora
pelo conjugado
:
Como
, os fatores
cancelam e os sinais se ajustam, sobrando
Agora fazemos
:
Passo 4
No item (ii) o denominador se anula em
, pois
. Para que o limite seja finito, o numerador também deve zerar em
:
Passo 5
Com
, o numerador fica
e o quociente para
é
Fazendo
obtemos
Resposta
(i)
(ii) e o valor do limite é
.
(ii)