Calcule lim x 2 raiz6-x-2raiz3-x-1.
59. Existe um número a tal que
lim x -2 3 x^2+a x+a+3x^2+x-2
exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.

Passo 1

Temos duas subquestões de limite. No item (i)
limxto2raiz6-x-2raiz3-x-1
vamos usar racionalização de conjugados para eliminar a indeterminação 0/0.
No item (ii)
limxto-23x^2+ax+a+3x^2+x-2
precisamos encontrar a de modo que o limite seja finito, ou seja, que haja indeterminação do tipo 0/0 e, em seguida, fatorar e cancelar o fator comum.

Passo 2

Analisando o item (i), ao substituir x=2 obtemos
raiz6-2-2=2-2=0 e raiz3-2-1=1-1=0, indeterminação 0/0.
Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador por raiz6-x+2:
raiz6-x-2raiz3-x-1 =(raiz6-x-2)(raiz6-x+2)(raiz3-x-1)(raiz6-x+2) =6-x-4(raiz3-x-1),(raiz6-x+2) =2-x(raiz3-x-1),(raiz6-x+2)

Passo 3

Escrevendo 2-x=-(x-2) e racionalizando agora raiz3-x-1 pelo conjugado raiz3-x+1:
2-x(raiz3-x-1)(raiz6-x+2) =-x-2(raiz6-x+2)cdotraiz3-x+1(raiz3-x-1)(raiz3-x+1) =-x-2(raiz6-x+2)cdotraiz3-x+12-x
Como 2-x=-(x-2), os fatores (x-2) cancelam e os sinais se ajustam, sobrando
raiz3-x+1raiz6-x+2
Agora fazemos xto2:
raiz3-2+1raiz6-2+2 =1+12+2 =24 =tfrac12

Passo 4

No item (ii) o denominador se anula em x=-2, pois x^2+x-2=(x+2)(x-1). Para que o limite seja finito, o numerador também deve zerar em x=-2:
3(-2)^2+a(-2)+a+3=12-2a+a+3=15-aoverset!=0 Longrightarrow a=15

Passo 5

Com a=15, o numerador fica
3x^2+15x+15+3=3x^2+15x+18=3(x^2+5x+6)=3(x+2)(x+3),
e o quociente para xneq-2 é
3(x+2)(x+3)(x+2)(x-1) =3(x+3)x-1
Fazendo xto-2 obtemos
3(-2+3)-2-1 =3cdot1-3 =-1

Resposta

(i) 12
(ii) a=15 e o valor do limite é -1.

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