Calcule a soma da série
f(t)=sumn=0^infty b^n sen(n t)
onde 0<b<1 e mostre que
f(t)=b sen(t)1-2 b cos (t)+b^2
Com base neste resultado, obtenha o valor da integral definida dada por
integral0^2 pi b sen(t) sen(k t)1-2 b cos (t)+b^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma de uma série envolvendo funções seno e depois usar esse resultado para resolver uma integral definida. A matéria que estamos lidando aqui é Somas de Séries Infinitas e Integrais de Funções Trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como somar séries geométricas com termos trigonométricos e depois aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a série que temos:
f(t) = sumn=0^infty b^n sin(n t)
Aqui, 0 < b < 1, o que é bom porque garante que a série converga. A série é uma combinação de uma progressão geométrica ( b^n) e uma função senoidal ( sin(n t)).

Passo 3

Para somar essa série, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica complexa. Sabemos que:
sumn=0^infty r^n e^i n t = 11 - r e^i t para |r| < 1
Aqui, e^i n t = cos(n t) + i sin(n t). Queremos apenas a parte imaginária dessa soma porque estamos lidando com o seno. Então, vamos multiplicar e dividir por 1 - b e^-i t para racionalizar o denominador:
f(t) = Im ( sumn=0^infty b^n e^i n t ) = Im ( 11 - b e^i t )
Calculando a parte imaginária:
11 - b e^i t = 1 - b e^-i t(1 - b e^i t)(1 - b e^-i t) = 1 - b cos(t) + i b sin(t)1 - 2b cos(t) + b^2
Então, a parte imaginária é:
f(t) = b sin(t)1 - 2b cos(t) + b^2

Passo 4

Pronto, mostramos que:
f(t) = sumn=0^infty b^n sin(n t) = b sin(t)1 - 2b cos(t) + b^2
Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral definida:
integral0^2 pi b sin(t) sin(k t)1 - 2b cos(t) + b^2 dt

Passo 5

Substituímos f(t) na integral:
integral0^2 pi sin(k t) f(t) dt = integral0^2 pi sin(k t) ( b sin(t)1 - 2b cos(t) + b^2 ) dt
Isso simplifica para:
integral0^2 pi sin(k t) f(t) dt

Passo 6

Sabemos que f(t) é uma série de senos com diferentes múltiplos de t. Quando multiplicamos por sin(k t) e integramos sobre um período completo 0 a 2pi, devido à ortogonalidade das funções seno, apenas o termo onde os múltiplos correspondem (isto é, n = k) vai contribuir para a integral. Todos os outros termos vão zerar.

Passo 7

Portanto, a integral será igual ao coeficiente da série correspondente a n = k. Da expressão de f(t), sabemos que o coeficiente é b^k.

Resposta

A integral definida vale pi b^k .

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