Calcule a soma da série
onde
e mostre que
Com base neste resultado, obtenha o valor da integral definida dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a soma de uma série envolvendo funções seno e depois usar esse resultado para resolver uma integral definida. A matéria que estamos lidando aqui é Somas de Séries Infinitas e Integrais de Funções Trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender como somar séries geométricas com termos trigonométricos e depois aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a série que temos:
Aqui,
, o que é bom porque garante que a série converga. A série é uma combinação de uma progressão geométrica (
) e uma função senoidal (
).
Passo 3
Para somar essa série, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica complexa. Sabemos que:
Aqui,
. Queremos apenas a parte imaginária dessa soma porque estamos lidando com o seno. Então, vamos multiplicar e dividir por
para racionalizar o denominador:
Calculando a parte imaginária:
Então, a parte imaginária é:
Passo 4
Pronto, mostramos que:
Agora, vamos usar esse resultado para calcular a integral definida:
Passo 5
Substituímos
na integral:
Isso simplifica para:
Passo 6
Sabemos que
é uma série de senos com diferentes múltiplos de
. Quando multiplicamos por
e integramos sobre um período completo
a
, devido à ortogonalidade das funções seno, apenas o termo onde os múltiplos correspondem (isto é,
) vai contribuir para a integral. Todos os outros termos vão zerar.
Passo 7
Portanto, a integral será igual ao coeficiente da série correspondente a
. Da expressão de
, sabemos que o coeficiente é
.
Resposta
A integral definida vale
.