Ao se inverter a ordem de integração na integral iterada I=integral0^2 integral0^x^2+1 f(x, y) d y d x obtemos:
a) I=integral0^1 integral0^y^2+1 f(x, y) d x d y;
b) I=integral0^1 integral0^2 f(x, y) d x d y;
c) I=integral1^5 integralraizy-1^2 f(x, y) d x d y;
d) I=integral0^5 integral0^raizy-1 f(x, y) d x d y;
e) nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a integral iterada
I=integral0^2integral0^x^2+1f(x,y),dy,dx
e pede para inverter a ordem de integração. O conteúdo é identificação da região de integração
D=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= x^2+1
e depois descrever essa mesma região trocando as ordens de dx e dy.

Passo 2

Vamos caracterizar a região D. Para cada xin[0,2], temos
0<= y<= x^2+1
O mínimo de y em D é 0 e o máximo é alcançado em x=2, que dá ymax=2^2+1=5. Logo yin[0,5].

Passo 3

Para inverter, fixamos um yin[0,5] e achamos o intervalo de x tal que (x,y)in D. A condição é
0<= x<=2 e y<= x^2+1
Isto é equivalente a
x^2>= y-1

Passo 4

Há dois casos para y:
  • Se 0<= y<=1, então y-1<=0 e a desigualdade x^2>= y-1 vale para todo x. Mas mantemos 0<= x<=2.
  • Se 1<= y<=5, então y-1>=0 e x>=raizy-1, além de x<=2.
Portanto a integral invertida é
I =integral0^1l[integral0^2f(x,y),dxr]dy +integral1^5l[integralraizy-1^2f(x,y),dxr]dy

Passo 5

Nenhuma das alternativas (a) a (d) corresponde a essa soma de dois integrais com esses limites.

Resposta

e) nenhuma das anteriores.

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