Considere a função periódica de período T dada na região (-T / 2, T / 2) por
f(t)=cc 0, & -T / 2 <= t<-d / 2 1, & -d / 2 <= t <= d / 2 0, & d / 2<t <= T / 2
onde d é uma constante entre 0 e T. Estude a paridade desta função. Encontre sua representação em série de Fourier.

Passo 1

O enunciado dá uma função periódica de período
onde e (2) encontrar sua série de Fourier. Para isso vamos usar os conceitos de função par/ímpar e as fórmulas dos coeficientes de Fourier.

Passo 2

Verificamos a paridade computando f(-t). Como o pulso de valor 1 está centrado em zero e simétrico, temos
f(-t)=f(t)forall,t,
logo f é função par. Dessa forma, em sua série de Fourier só aparecem termos em cosseno e todos os bn serão nulos.

Passo 3

Definimos omega0=tfrac2piT. Os coeficientes são
a0=1Tintegral-T/2^T/2f(t),dt =1Tcdot d =dT,
an=2Tintegral0^T/2f(t)cos(nomega0 t),dt =2Tintegral0^d/2cos(nomega0 t),dt =2T,sinl(nomega0d2r)nomega0 =1pi n,sin!l(npi dTr),
bn=2Tintegral0^T/2f(t)sin(nomega0 t),dt=0

Passo 4

Substituindo na forma de série de Fourier para funções pares,
f(t) =a0+sumn=1^inftyancos(nomega0 t),
obtemos
f(t) =dT +sumn=1^infty1pi n,sin!l(npi dTr) cos!l(2pi nTtr)

Resposta

boxed f(t) =dT +sumn=1^infty 1pi,n,sin!l(npi,dTr) cos!l(2pi,nT,tr) ,
com f par e bn=0.

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