Calcule aa derivada direccional da função f no ponto p0 na direç̧ão e sentido dados pelo vector u :
f(x, y)=x^2+3 x y+2 y^2, p0=(-3,1), v=(8,6)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direccional de
f(x,y)=x^2+3xy+2y^2
no ponto p0=(-3,1) na direcção e sentido do vector v=(8,6).
Para isso precisamos de:
  1. Calcular o gradiente nabla f.
  2. Obter o vetor unitário u=v|v|.
  3. Aplicar a fórmula da derivada direccional Duf(p0)=nabla f(p0)cdotu.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x+3y, partial fpartial y=3x+4y
Logo o gradiente é
nabla f(x,y)=l(2x+3y,;3x+4yr)

Passo 3

Avaliamo-lo em p0=(-3,1):
nabla f(-3,1)=l(2cdot(-3)+3cdot1,;3cdot(-3)+4cdot1r) =l(-6+3,;-9+4r) =l(-3,,-5r)

Passo 4

O comprimento de v=(8,6) é
|v|=raiz8^2+6^2=raiz64+36=raiz100=10
Assim o vector unitário na mesma direcção e sentido é
u=v|v| =l(tfrac810,tfrac610r) =l(tfrac45,tfrac35r)

Passo 5

A derivada direccional é o produto escalar
Duf(p0) =nabla f(-3,1)cdotu =(-3)cdottfrac45+(-5)cdottfrac35 =-12-155 =-275

Resposta

Duf(p0)=-275

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