Calcule aa derivada direccional da função f no ponto p0 na direç̧ão e sentido dados pelo vector u :
f(x, y)=sin (x+x^3 y), p0=(0,0), v=(1,1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direccional de
f(x,y) = sinl(x + x^3yr)
no ponto p0=(0,0) na direção do vetor vec v=(1,1).
Para isso precisamos de (i) calcular o gradiente de f, (ii) avaliar esse gradiente em p0 e (iii) projectá-lo sobre o vetor unitário na direção de vec v.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f. Seja
g(x,y) = x + x^3y,
então
partial fpartial x(x,y) = cosl(g(x,y)r),partial gpartial x(x,y) = cosl(x + x^3yr),l(1 + 3x^2yr),
partial fpartial y(x,y) = cosl(g(x,y)r),partial gpartial y(x,y) = cosl(x + x^3yr),x^3
Portanto o gradiente é
nabla f(x,y) = l(cos(x + x^3y),(1+3x^2y),;cos(x + x^3y),x^3r)

Passo 3

Avalie o gradiente em p0=(0,0). Como x+x^3y=0 em (0,0) e cos(0)=1, temos
partial fpartial x(0,0) = 1cdot(1+0)=1, partial fpartial y(0,0) = 1cdot0 = 0
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nabla f(0,0) = (1,0)

Passo 4

Obtenha o vetor unitário vec u na direção de vec v=(1,1).
|vec v| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2, vec u = 1raiz2,(1,1) = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 5

A derivada direccional de f em p0 na direcção de vec u é o produto escalar
Dvec uf(0,0) = nabla f(0,0)cdot vec u = (1,0)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = 1raiz2

Resposta

Dvec uf(0,0) = 1raiz2

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