Usando o critério das derivadas segunda ordem para extremantes,diga se cada ponto crítico de f é ponto máximo, ou mínimo.
f(x)=x^33+2 x^2+3 x-6

Passo 1

O enunciado pede para usar o critério da derivada segunda ordem e, assim, determinar se cada ponto crítico de
f(x)=x^33+2x^2+3x-6
é ponto de máximo ou de mínimo. Vamos precisar de f'(x) para achar os pontos críticos e de f''(x) para classificá-los.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada:
f'(x)=ddxl(tfracx^33+2x^2+3x-6r) = x^2+4x+3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos
x^2+4x+3=0 Longrightarrow (x+1)(x+3)=0
Logo, os pontos críticos são x=-1 e x=-3.

Passo 3

Agora obtemos a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(x^2+4x+3r) =2x+4

Passo 4

Aplicando o critério da segunda derivada:
– Em x=-1:
f''(-1)=2cdot(-1)+4=2>0,
portanto f tem mínimo em x=-1.
– Em x=-3:
f''(-3)=2cdot(-3)+4=-2<0,
portanto f tem máximo em x=-3.

Resposta

x=-1 é ponto de mínimo.
x=-3 é ponto de máximo.

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