Calcule
abla f(x, y) :
  • f(x, y)=x^{2} y
  • f(x, y)=e{x{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente (vetor das derivadas parciais) de duas funções de duas variáveis:
\text{(a) } f(x,y)=x^{2}y
\text{(b) } f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}
Informações dadas: as expressões das duas funções. Pergunta: encontrar \nabla f(x,y) para cada uma.

Passo 2

O que é o gradiente e como escrevê‑lo: o gradiente de uma função f(x,y) é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y. Formalmente,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} significa: derivar f em relação a x mantendo y fixo; e \frac{\partial f}{\partial y} significa: derivar f em relação a y mantendo x fixo. Vou mostrar passo a passo como aplicar isso em cada função.

Passo 3

Regras úteis que vamos usar (explicadas de forma prática):
  • Regra da potência (para uma variável): se g(x)=x^{n} então g'(x)=n x^{n-1}. Ex.: \frac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Derivada de produto (quando uma expressão é produto de duas funções em x): \frac{d}{dx}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). No caso de derivada parcial, se um fator é constante em relação à variável que derivamos, esse fator sai como multiplicador.
  • Regra da cadeia (quando temos e^{h(x,y)}): \frac{\partial}{\partial x}e^{h(x,y)}=e^{h(x,y)}\cdot \frac{\partial h}{\partial x}.
  • Derivada do exponencial: \frac{d}{du}e^{u}=e^{u}.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Calcular \nabla f para f(x,y)=x^{2}y.
Primeiro componente: \frac{\partial f}{\partial x}.
Aqui y é constante, e f é produto de x^{2} por y. Como y é constante, apenas derivamos x^{2}:
\frac{\partial f}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=\left(\frac{\partial}{\partial x}x^{2}\right)\cdot y = (2x)\cdot y = 2xy.
Expliquei: derivei x^{2} usando a regra da potência e multipliquei por y, que estava constante.
Segundo componente: \frac{\partial f}{\partial y}.
Aqui x é constante, e f=x^{2}\cdot y. Derivando em relação a y, x^{2} é constante e a derivada de y é 1:
\frac{\partial f}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2}\cdot \frac{\partial}{\partial y}y = x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Então o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(2xy,\;x^{2}\right).

Passo 5

Calcular \nabla f para f(x,y)=e^{x^{2}-y^{2}}.
Aqui temos uma exponencial com expoente h(x,y)=x^{2}-y^{2}. Usamos a regra da cadeia: a derivada parcial do exponencial é o exponencial vezes a derivada parcial do expoente.
Primeiro componente: \frac{\partial f}{\partial x}.
Calcule \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2}). Como y é tratado como constante, \frac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x e \frac{\partial}{\partial x}(-y^{2})=0. Assim
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}-y^{2})=2x.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot 2x = 2x\,e^{x^{2}-y^{2}}.
Segundo componente: \frac{\partial f}{\partial y}.
Calcule \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2}). Agora x é constante, \frac{\partial}{\partial y}x^{2}=0 e \frac{\partial}{\partial y}(-y^{2})=-2y. Assim
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-y^{2})=-2y.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x^{2}-y^{2}}\cdot (-2y) = -2y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
Portanto o gradiente é
\nabla f(x,y)=\left(2x\,e^{x^{2}-y^{2}},\;-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}\right).

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para sentir o resultado (opcional, só para visualizar): se quiser avaliar o gradiente da primeira função em (1,2),
\nabla f(1,2)=(2\cdot 1\cdot 2,\;1^{2})=(4,1).
Isto mostra como usar as fórmulas na prova: calcule as componentes simbólicas e depois substitua os valores do ponto.

Resposta

\nabla f(x,y)=\left(2xy,\;x^{2}\right)
\nabla f(x,y)=\left(2x\,e^{x^{2}-y^{2}},\;-2y\,e^{x^{2}-y^{2}}\right)

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