Calcule
abla f(x, y) :
- f(x, y)=x^{2} y
- f(x, y)=e{x{2}-y^{2}}
abla f(x, y) :
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente (vetor das derivadas parciais) de duas funções de duas variáveis:
Informações dadas: as expressões das duas funções. Pergunta: encontrar
para cada uma.
Passo 2
O que é o gradiente e como escrevê‑lo: o gradiente de uma função
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a
e em relação a
. Formalmente,
Aqui
significa: derivar
em relação a
mantendo
fixo; e
significa: derivar
em relação a
mantendo
fixo. Vou mostrar passo a passo como aplicar isso em cada função.
Passo 3
Regras úteis que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra da potência (para uma variável): se
então . Ex.: . - Derivada de produto (quando uma expressão é produto de duas funções em
): . No caso de derivada parcial, se um fator é constante em relação à variável que derivamos, esse fator sai como multiplicador. - Regra da cadeia (quando temos
): . - Derivada do exponencial:
.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Calcular
para
.
Primeiro componente:
.
Aqui é constante, e
é produto de
por
. Como
é constante, apenas derivamos
:
Aqui
Expliquei: derivei
usando a regra da potência e multipliquei por
, que estava constante.
Segundo componente:
.
Aqui é constante, e
. Derivando em relação a
,
é constante e a derivada de
é
:
Aqui
Então o gradiente é
Passo 5
Calcular
para
.
Aqui temos uma exponencial com expoente
. Usamos a regra da cadeia: a derivada parcial do exponencial é o exponencial vezes a derivada parcial do expoente.
Primeiro componente:
.
Calcule . Como
é tratado como constante,
e
. Assim
Calcule
Aplicando a cadeia:
Segundo componente:
.
Calcule . Agora
é constante,
e
. Assim
Calcule
Aplicando a cadeia:
Portanto o gradiente é
Passo 6
Pequeno exemplo numérico para sentir o resultado (opcional, só para visualizar): se quiser avaliar o gradiente da primeira função em
,
Isto mostra como usar as fórmulas na prova: calcule as componentes simbólicas e depois substitua os valores do ponto.