Calcule
:
-
, onde
e
.
-
, onde
e
.
Passo 1
O problema pede que eu calcule
em duas situações diferentes. Vou listar claramente o que é dado em cada item:
-
Primeiro item:
- A função é
, isto é, é o produto de por . - As dependências são
e . - Pergunta: calcular
em função de .
- A função é
-
Segundo item:
- A função é
. - As dependências são
e . - Pergunta: calcular
em função de .
- A função é
Nada mais será assumido além dessas fórmulas fornecidas.
Passo 2
Primeiro item: vou explicar a regra que preciso usar e por que. Quando
é produto de duas funções que dependem de
, isto é
, a regra para derivar é a regra do produto. A regra do produto diz:
Nessa fórmula:
-
é a taxa de variação de em relação a . -
é a taxa de variação de em relação a . - Multiplicamos cada derivada pela outra função não derivada e somamos.
Passo 3
Calculo das derivadas necessárias para o primeiro item:
- Como
, a derivada de em relação a é
- Como
, a derivada de em relação a é
Agora aplico a regra do produto:
Passo 4
Continuando a simplificação do primeiro item:
Calculo cada termo:
Somando,
Portanto, para o primeiro item o resultado é
.
Passo 5
Agora o segundo item: explico a estratégia. Temos
com
e
. Isso é uma composição:
onde
. A regra que usamos é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada do logaritmo natural. Em geral:
Aqui
é a derivada de
em relação a
. Como
, usamos derivada de soma e derivada de potência:
pois a derivada de
é
(regra da cadeia aplicada à potência).
Passo 6
Calculo as derivadas das funções internas para o segundo item:
- Como
,
- Como
, uso a regra da cadeia: derivada de é . Aqui e . Então
Agora substituo em
:
Passo 7
Substituo
e
nas expressões e monto
. Primeiro escrevo
:
O numerador
fica:
Substituindo
e
:
Então, pela regra do logaritmo,
Passo 8
Pequena simplificação trigonométrica opcional (útil para deixar mais compacto): como
, temos
. Substituindo isso no numerador:
Portanto outra forma equivalente é
Ambas as formas são corretas e equivalentes; vou apresentar uma forma final simples na resposta.