Calcule \frac{d z}{d t} :
  • z=(x y), onde x=3 t e y=t^{2}.
  • z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right), onde x=(3 t) e y=\cos (3 t).

Passo 1

O problema pede que eu calcule \dfrac{dz}{dt} em duas situações diferentes. Vou listar claramente o que é dado em cada item:
  • Primeiro item:
    • A função é z=(x y), isto é, z é o produto de x por y.
    • As dependências são x=3t e y=t^{2}.
    • Pergunta: calcular \dfrac{dz}{dt} em função de t.
  • Segundo item:
    • A função é z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr).
    • As dependências são x=3t e y=\cos(3t).
    • Pergunta: calcular \dfrac{dz}{dt} em função de t.
Nada mais será assumido além dessas fórmulas fornecidas.

Passo 2

Primeiro item: vou explicar a regra que preciso usar e por que. Quando z é produto de duas funções que dependem de t, isto é z=x(t)\,y(t), a regra para derivar é a regra do produto. A regra do produto diz:
\frac{d}{dt}\bigl(x(t)\,y(t)\bigr)=\frac{dx}{dt}\,y(t)+x(t)\,\frac{dy}{dt}.
Nessa fórmula:
  • \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em relação a t.
  • \dfrac{dy}{dt} é a taxa de variação de y em relação a t.
  • Multiplicamos cada derivada pela outra função não derivada e somamos.

Passo 3

Calculo das derivadas necessárias para o primeiro item:
  • Como x=3t, a derivada de x em relação a t é
\frac{dx}{dt}=3.
  • Como y=t^{2}, a derivada de y em relação a t é
\frac{dy}{dt}=2t.
Agora aplico a regra do produto:
\frac{dz}{dt}=\frac{dx}{dt}\,y + x\,\frac{dy}{dt}=3\cdot t^{2} + (3t)\cdot(2t).

Passo 4

Continuando a simplificação do primeiro item:
Calculo cada termo:
3\cdot t^{2}=3t^{2},\qquad (3t)\cdot(2t)=6t^{2}.
Somando,
\frac{dz}{dt}=3t^{2}+6t^{2}=9t^{2}.
Portanto, para o primeiro item o resultado é \dfrac{dz}{dt}=9t^{2}.

Passo 5

Agora o segundo item: explico a estratégia. Temos z=\ln\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr) com x=x(t) e y=y(t). Isso é uma composição: z=\ln(u(t)) onde u(t)=1+x(t)^{2}+y(t)^{2}. A regra que usamos é a regra da cadeia para funções compostas e a derivada do logaritmo natural. Em geral:
\frac{d}{dt}\bigl(\ln(u(t))\bigr)=\frac{u'(t)}{u(t)}.
Aqui u'(t) é a derivada de u em relação a t. Como u(t)=1+x(t)^{2}+y(t)^{2}, usamos derivada de soma e derivada de potência:
u'(t)=2x(t)\,\frac{dx}{dt}+2y(t)\,\frac{dy}{dt},
pois a derivada de x(t)^{2} é 2x(t)\,x'(t) (regra da cadeia aplicada à potência).

Passo 6

Calculo as derivadas das funções internas para o segundo item:
  • Como x=3t,
\frac{dx}{dt}=3.
  • Como y=\cos(3t), uso a regra da cadeia: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u'. Aqui u=3t e u'=3. Então
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(\cos(3t)\bigr)=-\sin(3t)\cdot 3=-3\sin(3t).
Agora substituo em u'(t):
u'(t)=2x\cdot\frac{dx}{dt}+2y\cdot\frac{dy}{dt}=2x\cdot 3 + 2y\cdot(-3\sin(3t)).

Passo 7

Substituo x=3t e y=\cos(3t) nas expressões e monto \dfrac{dz}{dt}. Primeiro escrevo u(t)=1+x^{2}+y^{2}:
u(t)=1+(3t)^{2}+\cos^{2}(3t)=1+9t^{2}+\cos^{2}(3t).
O numerador u'(t) fica:
u'(t)=2x\cdot 3 + 2y\cdot(-3\sin(3t))=6x -6y\sin(3t).
Substituindo x=3t e y=\cos(3t):
u'(t)=6\cdot(3t)-6\cdot\cos(3t)\cdot\sin(3t)=18t-6\cos(3t)\sin(3t).
Então, pela regra do logaritmo,
\frac{dz}{dt}=\frac{u'(t)}{u(t)}=\frac{18t-6\cos(3t)\sin(3t)}{1+9t^{2}+\cos^{2}(3t)}.

Passo 8

Pequena simplificação trigonométrica opcional (útil para deixar mais compacto): como 2\sin(a)\cos(a)=\sin(2a), temos \cos(3t)\sin(3t)=\tfrac{1}{2}\sin(6t). Substituindo isso no numerador:
18t-6\cos(3t)\sin(3t)=18t-6\cdot\frac{1}{2}\sin(6t)=18t-3\sin(6t).
Portanto outra forma equivalente é
\frac{dz}{dt}=\frac{18t-3\sin(6t)}{1+9t^{2}+\cos^{2}(3t)}=\frac{3\bigl(6t-\sin(6t)\bigr)}{1+9t^{2}+\cos^{2}(3t)}.
Ambas as formas são corretas e equivalentes; vou apresentar uma forma final simples na resposta.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=9t^{2}
\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{18t-6\cos(3t)\sin(3t)}{1+9t^{2}+\cos^{2}(3t)}

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