Calcule
abla f(x, y, z) :
  • f(x, y, z)=\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}
  • f(x, y, z)=z \arctan \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \nabla f(x,y,z) (o vetor gradiente) para duas funções distintas:
\text{(i)}\quad f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\text{(ii)}\quad f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\frac{x}{y}\right)
Informações relevantes dadas:
  • As funções estão em termos das variáveis x,y,z.
  • Em (ii) aparece o quociente \dfrac{x}{y}, portanto a expressão normal exige y\neq 0 (vou explicitar isso quando for necessário).
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais \left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right).

Passo 2

Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de leve, como num amigo te explicando):
  • Gradiente: para uma função f(x,y,z),
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y},\dfrac{\partial f}{\partial z}\right).
Cada componente é uma derivada parcial: derivamos f em relação a uma variável, tratando as outras como constantes.
  • Regras úteis:
    • Regra da potência (para uma função univariada t^{\alpha}): \dfrac{d}{dt}t^{\alpha}=\alpha t^{\alpha-1}.
    • Regra da cadeia (se f(t)=h(g(t)), então f'(t)=h'(g(t))\cdot g'(t)).
    • Regra do produto (se f(t)=u(t)v(t), então f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)).
    • Derivada de \arctan(u): \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
    • Derivada de u(x,y)=\dfrac{x}{y}: \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{1}{y} e \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=-\dfrac{x}{y^{2}} (tratando x como constante quando derivamos em relação a y).
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada função.

Passo 3

Resolver (i): f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • Aplicamos regra da cadeia: se f=(g)^{1/2} com g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{2}g^{-1/2}\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}.
  • Como \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x, temos
\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z} é análogo (simetria entre x,y,z):
\dfrac{\partial f}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Portanto o gradiente da (i) é
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\dfrac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right).
Observação prática: isto é intuitivo — cada componente é a coordenada dividida pelo raio r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Resolver (ii): f(x,y,z)=z\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right).
Primeiro anotar domínio: a expressão \arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right) exige y\neq 0. Trabalhamos para y\neq 0. Também atenção em (x,y)=(0,0) onde o quociente é indefinido.
Vamos calcular as derivadas parciais. É um produto entre z e \arctan(\cdot), então usaremos a regra do produto em derivadas parciais (tratando a variável de diferenciação corretamente).
Defina g(x,y)=\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Para usar cadeia, ponha u=\dfrac{x}{y}. Então g=\arctan(u).
Calcular \dfrac{\partial g}{\partial x}:
  • \dfrac{dg}{du}=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
  • \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{1}{y} (pois y é tratado como constante ao derivar em x).
  • Pela cadeia,
\dfrac{\partial g}{\partial x}=\dfrac{1}{1+u^{2}}\cdot \dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}}\cdot \dfrac{1}{y}.
Simplificando a fração:
\dfrac{1}{1+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}}\cdot \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}}\cdot \dfrac{1}{y} = \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot \dfrac{1}{y} = \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Calcular \dfrac{\partial g}{\partial y}:
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{x}{y^{2}}.
  • Pela cadeia,
\dfrac{\partial g}{\partial y}=\dfrac{1}{1+u^{2}}\cdot\left(-\dfrac{x}{y^{2}}\right) = \dfrac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\cdot\left(-\dfrac{x}{y^{2}}\right) = -\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}.
Agora aplicamos a regra do produto para f=z\cdot g(x,y).
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}:
  • z é tratado como constante ao derivar em x, e z não depende de x.
  • Assim
\dfrac{\partial f}{\partial x}=z\cdot \dfrac{\partial g}{\partial x} = z\cdot \dfrac{y}{x^{2}+y^{2}}.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}:
  • Novamente z é constante quando derivamos em y:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=z\cdot \dfrac{\partial g}{\partial y} = z\cdot\left(-\dfrac{x}{x^{2}+y^{2}}\right) = -\dfrac{z\,x}{x^{2}+y^{2}}.
Calcular \dfrac{\partial f}{\partial z}:
  • Aqui \arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right) é constante (não depende de z), então
\dfrac{\partial f}{\partial z}=\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right).
Portanto o gradiente da (ii) é
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{z\,y}{x^{2}+y^{2}},-\dfrac{z\,x}{x^{2}+y^{2}},\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\right),\qquad y\neq 0.

Passo 5

Resumo das observações e dicas de prova:
  • Para funções do tipo (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2} memorize que \nabla dá as componentes divididas por r — ajuda a economizar tempo.
  • Para \arctan(x/y) prefira usar u=x/y e a regra da cadeia; simplificações algébricas (fator y^{2}) limpam a expressão e evitam erros de sinal.
  • Lembre sempre de checar domínio (aqui y\neq0 para a segunda função). Se na prova pedirem pontos específicos, cuide da existência das derivadas parciais nesses pontos.

Resposta

\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\dfrac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\dfrac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\right)
\nabla f(x,y,z)=\left(\dfrac{z\,y}{x^{2}+y^{2}},-\dfrac{z\,x}{x^{2}+y^{2}},\arctan\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\right),\; y\neq 0

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