Calcule
abla f(x, y, z) :
- f(x, y, z)=\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}
- f(x, y, z)=z \arctan \left(\frac{x}{y}\right)
abla f(x, y, z) :
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
(o vetor gradiente) para duas funções distintas:
Informações relevantes dadas:
- As funções estão em termos das variáveis
. - Em (ii) aparece o quociente
, portanto a expressão normal exige (vou explicitar isso quando for necessário). - O gradiente
é o vetor das derivadas parciais .
Passo 2
Definições e ferramentas que vamos usar (explicadas de leve, como num amigo te explicando):
- Gradiente: para uma função
,
Cada componente é uma derivada parcial: derivamos
em relação a uma variável, tratando as outras como constantes.
- Regras úteis:
- Regra da potência (para uma função univariada
): . - Regra da cadeia (se
, então ). - Regra do produto (se
, então ). - Derivada de
: . - Derivada de
: e (tratando como constante quando derivamos em relação a ).
- Regra da potência (para uma função univariada
Vou aplicar essas regras passo a passo para cada função.
Passo 3
Resolver (i):
.
Calcular
:
- Aplicamos regra da cadeia: se
com , então
- Como
, temos
Calcular
e
é análogo (simetria entre
):
Portanto o gradiente da (i) é
Observação prática: isto é intuitivo — cada componente é a coordenada dividida pelo raio
.
Passo 4
Resolver (ii):
.
Primeiro anotar domínio: a expressão
exige
. Trabalhamos para
. Também atenção em
onde o quociente é indefinido.
Vamos calcular as derivadas parciais. É um produto entre
e
, então usaremos a regra do produto em derivadas parciais (tratando a variável de diferenciação corretamente).
Defina
. Para usar cadeia, ponha
. Então
.
Calcular
:
-
. -
(pois é tratado como constante ao derivar em ). - Pela cadeia,
Simplificando a fração:
Calcular
:
-
. - Pela cadeia,
Agora aplicamos a regra do produto para
.
Calcular
:
-
é tratado como constante ao derivar em , e não depende de . - Assim
Calcular
:
- Novamente
é constante quando derivamos em :
Calcular
:
- Aqui
é constante (não depende de ), então
Portanto o gradiente da (ii) é
Passo 5
Resumo das observações e dicas de prova:
- Para funções do tipo
memorize que dá as componentes divididas por — ajuda a economizar tempo. - Para
prefira usar e a regra da cadeia; simplificações algébricas (fator ) limpam a expressão e evitam erros de sinal. - Lembre sempre de checar domínio (aqui
para a segunda função). Se na prova pedirem pontos específicos, cuide da existência das derivadas parciais nesses pontos.