Calcule a abscissa do ponto de interseção dos gráficos das funções
e
, calculando e comparando os métodos de Newton-Raphson, método do ponto fixo e o método da secante,
precisões
. Analise o que está acontecendo com a convergência e número de iterações em cada método.
Passo 1
O enunciado pede a abscissa
em que
se intersectam, ou seja, a solução de
usando três métodos iterativos (Newton–Raphson, ponto-fixo e secante) com tolerâncias
. Vamos precisar da derivada
do conceito de ponto-fixo (escolha de
tal que
) e da fórmula da secante.
Passo 2
Newton–Raphson: a iteração é
Escolhemos
e paramos quando
.
Iterações:
Como
, paramos com
em 4 iterações.
Passo 3
Método do ponto-fixo: tentamos
Mas
tem
para
próximo da solução, gerando oscilações e não havendo convergência (mesmo para várias escolhas iniciais). Logo, o ponto-fixo falha aqui.
Passo 4
Secante: usamos
com
,
e mesma condição
.
Iterações:
.
Como
, obtemos
em 4 iterações.
Passo 5
Comparação de convergência e iterações:
- Newton–Raphson: convergiu em 4 iterações (convergência quadrática).
- Secante: convergiu em 4 iterações (convergência superlinear).
- Ponto-fixo: divergiu (não se obteve solução).
Resposta
A abscissa do ponto de interseção é aproximadamente
Newton–Raphson e secante convergem em cerca de 4 iterações com
, enquanto a forma direta de ponto-fixo não convergiu.