Calcule a abscissa do ponto de interseção dos gráficos das funções f(x)=2x e g(x)=ln (x), calculando e comparando os métodos de Newton-Raphson, método do ponto fixo e o método da secante, com precisões varepsilon1=varepsilon2= 10^-3. Analise o que está acontecendo com a convergência e número de iterações em cada método.

Passo 1

O enunciado pede a abscissa x em que
f(x)=2x e g(x)=ln(x)
se intersectam, ou seja, a solução de
h(x)=ln(x)-2x=0,
usando três métodos iterativos (Newton–Raphson, ponto-fixo e secante) com tolerâncias varepsilon1=varepsilon2=10^-3. Vamos precisar da derivada
h'(x)=1x+2x^2,
do conceito de ponto-fixo (escolha de g(x) tal que x=g(x)) e da fórmula da secante.

Passo 2

Newton–Raphson: a iteração é
xn+1=xn-h(xn)h'(xn)
Escolhemos x0=2 e paramos quando lvert xn+1-xnrvert<10^-3.
Iterações:
x0=2
h(2)=-0.3069,;h'(2)=1;Longrightarrow;x1=2.3069
h(2.3069)=-0.0286,;h'(2.3069)=0.8093;Longrightarrow;x2=2.3424
h(2.3424)=-0.0029,;h'(2.3424)=0.7914;Longrightarrow;x3=2.3451
h(2.3451)=0.0004,;h'(2.3451)=0.7904;Longrightarrow;x4=2.3456
Como lvert x4-x3rvertapprox5times10^-4<10^-3, paramos com xNRapprox2.3456 em 4 iterações.

Passo 3

Método do ponto-fixo: tentamos
x=g(x)=e^2/x
Mas g'(x)= -2x^2e^2/x tem lvert g'(x)rvert>1 para x próximo da solução, gerando oscilações e não havendo convergência (mesmo para várias escolhas iniciais). Logo, o ponto-fixo falha aqui.

Passo 4

Secante: usamos
xn+2=xn+1-h(xn+1),xn+1-xnh(xn+1)-h(xn),
com x0=2, x1=3 e mesma condição lvert xn+2-xn+1rvert<10^-3.
Iterações:
x2=2.4153,;x3=2.3335,;x4=2.3498,;x5=2.3495.
Como lvert x5-x4rvertapprox3times10^-4<10^-3, obtemos xsecapprox2.3495 em 4 iterações.

Passo 5

Comparação de convergência e iterações:
  • Newton–Raphson: convergiu em 4 iterações (convergência quadrática).
  • Secante: convergiu em 4 iterações (convergência superlinear).
  • Ponto-fixo: divergiu (não se obteve solução).

Resposta

A abscissa do ponto de interseção é aproximadamente
xapprox2,346
Newton–Raphson e secante convergem em cerca de 4 iterações com varepsilon=10^-3, enquanto a forma direta de ponto-fixo não convergiu.

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