Exercício 2. Difusão Química. A difusão química por uma camada fina é governada pela equação
partial Cpartial t=k partial^2 Cpartial x^2-L C
onde C(x, t) é a concentração em moles / cm^3, a difusividade k é uma constante positiva com unidades cm^2 / s, e L>0 é uma taxa de consumo com unidades s^-1. Suponha que as condições de fronteira sejam C(0, t)=C(a, t)=0, t>0, e a concentração inicial seja dada por C(x, 0)= f(x), 0<x<a. Use o método da separação de variáveis para resolver formalmente para a concentração C(x, t). O que acontece com a concentração quando t +infty ?

Passo 1

O enunciado dá a equação de difusão com consumo
partial Cpartial t=k,partial^2Cpartial x^2-L,C,
com condições de fronteira C(0,t)=C(a,t)=0 e condição inicial C(x,0)=f(x).
Conteúdo: método de separação de variáveis e séries de Fourier para problemas com contorno de Dirichlet em [0,a].

Passo 2

Assumimos C(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE e dividindo por X,T temos
T'(t)T(t) ;=; k,X''(x)X(x) - L ;=;-,lambda,
onde lambda é constante de separação. Isso gera duas EDOs:
X''(x) + lambda - Lk,X(x) = 0, T'(t) + lambda,T(t) = 0
Definimos mu^2 = tfraclambda - Lk para escrever o problema de autovalores de forma padrão.

Passo 3

O problema de contorno para X é
X'' + mu^2,X = 0, X(0)=0,;X(a)=0
As soluções não-triviais exigem mun = tfracnpia, n=1,2,dots, com autovetores Xn(x)=sinl(npi x/ar).
Da definição de mu^2 obtemos lambdan = k,mun^2 + L = kl(tfracnpiar)^2 + L.

Passo 4

A EDO em T
Tn(t) = expl(-lambdan,tr) = exp!l[-l(k,(npi/a)^2 + Lr),tr]

Passo 5

A solução geral é a combinação linear das modes:
C(x,t) = sumn=1^infty An,sinl(npi x/ar),exp!l[-(k(npi/a)^2+L),tr]
Para ajustar a condição inicial C(x,0)=f(x) usamos a expansão em série de Fourier-seno em [0,a]:
An = 2a integral0^a f(x),sinl(npi x/ar),dx

Passo 6

Cada termo em C(x,t) contém o fator exp[-(k(npi/a)^2+L)t], que tende a zero conforme tto+infty. Logo
limtto+inftyC(x,t)=0
uniformemente em 0<= x<= a.

Resposta

C(x,t) = sumn=1^infty gl[2aintegral0^af(s),sinl(tfracnpi sar),dsgr] sinl(tfracnpi xar) exp!l[-l(k(tfracnpia)^2+Lr)tr],
e limtto+inftyC(x,t)=0.

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