Exercício 2. Difusão Química. A difusão química por uma camada fina é governada pela equação
onde
é a concentração em moles
, a difusividade
é uma constante positiva com unidades
, e
é uma taxa de consumo com unidades
. Suponha que as condições de fronteira sejam
, e a concentração inicial seja dada por
. Use o método da separação de variáveis para resolver formalmente para a concentração
. O que acontece com a concentração quando
?
Passo 1
O enunciado dá a equação de difusão com consumo
com condições de fronteira
e condição inicial
.
Conteúdo: método de separação de variáveis e séries de Fourier para problemas com contorno de Dirichlet em .
Conteúdo: método de separação de variáveis e séries de Fourier para problemas com contorno de Dirichlet em
Passo 2
Assumimos
. Substituindo na PDE e dividindo por
temos
onde
é constante de separação. Isso gera duas EDOs:
Definimos
para escrever o problema de autovalores de forma padrão.
Passo 3
O problema de contorno para
é
As soluções não-triviais exigem
,
, com autovetores
.
Da definição de obtemos
.
Da definição de
Passo 4
A EDO em
dá
Passo 5
A solução geral é a combinação linear das modes:
Para ajustar a condição inicial
usamos a expansão em série de Fourier-seno em
:
Passo 6
Cada termo em
contém o fator
, que tende a zero conforme
. Logo
uniformemente em
.
Resposta
e
.