Resolva o sistema A X=B usando o método de Gauss-Jacobi, a partir do vetor nulo e com precisão de varepsilon=0,01 no erro relativo. Verifique também a convergência e o condicionamento da matriz:
(a) A=[ccc1 & 10 & -6 3 & -4 & 2 -1 & 5 & 4], B=[l10 10 10]

Passo 1

Beleza, o problema é resolver o sistema
A X = B, A = 1 & 10 & -6[3pt]3 & -4 & 2[3pt]-1 & 5 & 4, B = 10[3pt]10[3pt]10,
usando o método de Gauss–Jacobi, começando de x^(0)=(0,0,0)^T e parando só quando o erro relativo ficar abaixo de varepsilon=0,01. Além disso, precisamos verificar a convergência do método e o condicionamento da matriz A. O conteúdo é métodos iterativos (Jacobi) e condicionamento de matrizes. Vamos decompor A em D+L+U, escrever a fórmula de iteração, checar dominância diagonal (ou raio espectral), e depois calcular o número de condição.]

Passo 2

Decompondo
D = 1&0&0[3pt]0&-4&0[3pt]0&0&4, L+U=0&10&-6[3pt]3&0&2[3pt]-1&5&0,
a iteração de Jacobi é
x^(k+1) ;=; D^-1l(B - (L+U),x^(k)r)
Componentes:
x1^(k+1) = 10 ;-;10,x2^(k) ;+;6,x3^(k)1,[8pt] x2^(k+1) = 10 ;-;3,x1^(k) ;-;2,x3^(k)-4,[8pt] x3^(k+1) = 10 ;+;x1^(k) ;-;5,x2^(k)4,
]

Passo 3

Um teste rápido de convergência é a dominância diagonal em cada linha:
  • Linha 1: lvert1rvert>|10|+|-6|=16 → falha.
  • Linha 2: lvert-4rvert>|3|+|2|=5 → falha.
  • Linha 3: lvert4rvert>|-1|+|5|=6 → falha.
    Como nenhuma linha é estritamente dominante, já desconfiamos que o Jacobi não vá convergir.

Passo 4

Para confirmar, montamos a matriz de iteração
G = -,D^-1(L+U) = 0 & -10 & 6[4pt] tfrac34 & 0 & tfrac12[4pt] tfrac14 & -tfrac54 & 0
Se rho(G)<1 ele converge, mas já vemos que
|G|infty =max0+10+6,;0,75+0+0,5,;0,25+1,25+0 =16>1,
logo rho(G)>=1 e o método diverge.]

Passo 5

Só pra ilustrar, as duas primeiras iterações dão
x^(1)=(10,,-2,5,;2,5)^T, x^(2)=(50,;6,25,;8,125)^T,
e em vez de se aproximar da solução, os valores disparam – o erro relativo jamais chega a 0,01.

Passo 6

Finalmente, o condicionamento em norma infinito:
|A|infty = max1+10+6,;3+4+2,;1+5+4 = 17
Calculando A^-1 (por cofatores/adjunta) chega-se a |A^-1|inftyapprox0,431.
Então
condinfty(A) = |A|infty,|A^-1|infty approx 17times0,431 approx 7,33,
ou seja, A é moderadamente bem condicionada, mas o Jacobi ainda assim não converge.

Resposta

O método de Gauss–Jacobi não converge para esse sistema (não há dominância diagonal e rho(G)>=1), de modo que não é possível atingir o erro relativo varepsilon=0,01. O número de condição em norma infinita é condinfty(A)approx7,33.

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