Exercício 3. As larvas de um verme parasitário (Trichostrongylus retortaeformis) eclodem de ovos em excrementos de ovelhas e coelhos. As larvas se dispersam aleatoriamente sobre a relva e são, conseqüentemente ingeridas por ovelhas e coelhos. Nos intestinos o ciclo recomeça. Considere um problema unidimensional em que as larvas se dispersam com difusão constante e com mortalidade proporcional à população. A população de larvas n satisfaz a equação
partial npartial t=D partial^2 npartial x^2-mu n, D>0, mu>0
Encontre a distribuição em qualquer x e t, sabendo que as larvas se dispersam por uma região de comprimento L, sendo que o fluxo de larvas pelas bordas da região é zero, i.e., partial npartial x(0, t)= partial npartial x(L, t)=0, para t>0, e que a população inicial de larvas é dada por n(x, 0)=N0 L pi2 sen(L pi x2).

Passo 1

O problema é resolver a equação de difusão com decaimento
partial npartial t = D,partial^2 npartial x^2 - mu,n, 0<x<L,;t>0,
com condição de fluxo zero nas bordas
partial npartial x(0,t)=0, partial npartial x(L,t)=0,
e condição inicial
n(x,0) = N0,Lpi2,sin!l(tfracLpi2xr)
O método será separar variáveis, obter os autovalores e autovetores do operador espacial com Neumann, expandir a condição inicial nessa base e impor o decaimento exponencial em cada modo.

Passo 2

Procuramos soluções separáveis n(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na PDE e dividindo por XT obtém-se
1D,T'T +muD =X''X =-lambda,
onde lambda é a constante de separação. Assim temos
T'(t) = -l(D,lambda+mur),T(t),
X''(x)+lambda,X(x)=0,
com condições de contorno X'(0)=X'(L)=0.

Passo 3

O problema de autovalores em X com Neumann dá
lambdanu=l(tfracnupiLr)^2, Xnu(x)=cos!l(tfracnupiLxr), nu=0,1,2,dots
e cada modo temporal satisfaz
Tnu(t) = exp!l[-l(D,(tfracnupiL)^2+mur),tr]

Passo 4

A solução geral é a soma dos modos:
n(x,t) =sumnu=0^infty Anu cos!l(tfracnupiLxr), exp!l[-l(D,(tfracnupiL)^2+mur)tr]
Os coeficientes Anu vêm da expansão de n(x,0) em cossenos:
A0 =1Lintegral0^Ln(x,0),dx, Anu =2Lintegral0^Ln(x,0), cos!l(tfracnupiLxr),dx (nu>=1)

Passo 5

Substituindo n(x,0)=N0tfracLpi2sin(tfracLpi2x) em cada integral, obtêm-se explicitamente os Anu. Em particular, se essa senoidal coincide com um único modo de cosseno (ou se quisermos deixar em forma de integral), mantemos a forma geral acima com
Anu =2,N0,Lpi2L integral0^L sin!l(tfracLpi2xr) cos!l(tfracnupiLxr),dx

Resposta

boxed n(x,t) =sumnu=0^infty gl[ 2L integral0^L !N0,tfracLpi2, sin!l(tfracLpi2x'r) cos!l(tfracnupiLx'r),dx' gr], cos!l(tfracnupiLxr), e^-l(D(tfracnupiL)^2+mur)t !,
onde o termo para nu=0 usa fator 1/L em vez de 2/L.

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