Exercício 3. As larvas de um verme parasitário (Trichostrongylus retortaeformis) eclodem de ovos em excrementos de ovelhas e coelhos. As larvas se dispersam aleatoriamente sobre a relva e são, conseqüentemente ingeridas por ovelhas e coelhos. Nos intestinos o ciclo recomeça. Considere um problema unidimensional em que as larvas se dispersam com difusão constante e com mortalidade proporcional à população. A população de larvas
satisfaz a equação
Encontre a distribuição em qualquer
e
, sabendo que as larvas se dispersam por uma região de comprimento
, sendo que o fluxo de larvas pelas bordas da região é zero, i.e.,
, para
, e que a população inicial de larvas é dada por
.
Passo 1
O problema é resolver a equação de difusão com decaimento
com condição de fluxo zero nas bordas
e condição inicial
O método será separar variáveis, obter os autovalores e autovetores do operador espacial com Neumann, expandir a condição inicial nessa base e impor o decaimento exponencial em cada modo.
Passo 2
Procuramos soluções separáveis
. Substituindo na PDE e dividindo por
obtém-se
onde
é a constante de separação. Assim temos
com condições de contorno
.
Passo 3
O problema de autovalores em
com Neumann dá
e cada modo temporal satisfaz
Passo 4
A solução geral é a soma dos modos:
Os coeficientes
vêm da expansão de
em cossenos:
Passo 5
Substituindo
em cada integral, obtêm-se explicitamente os
. Em particular, se essa senoidal coincide com um único modo de cosseno (ou se quisermos deixar em forma de integral), mantemos a forma geral acima com
Resposta
onde o termo para
usa fator
em vez de
.