Exercício 1. O problema do telégrafo. Use o método da separação de variáveis para derivar uma solução formal para o problema do telégrafo:
partial^2 upartial t^2+partial upartial t+u=alpha^2 partial^2 upartial x^2, 0<x<L, t>0
onde u(0, t)=u(L, t)=0 para t>0, e u(x, 0)=f(x) e partial upartial t(x, 0)=0 para 0<x<L.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação do telégrafo
partial^2upartial t^2+partial upartial t+u=alpha^2partial^2upartial x^2, 0<x<L,;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), partial upartial t(x,0)=0
O método exigido é separar u(x,t)=X(x),T(t), levando a dois ODEs, um espacial e outro temporal, ligados por um parâmetro de separação -lambda.

Passo 2

Supondo
u(x,t)=X(x),T(t),
substituímos na PDE e dividimos por alpha^2X,T, obtendo
1alpha^2T''+T'+TT=X''X=-lambda
Isso gera dois problemas:
Espacial
X''(x)+lambda,X(x)=0, X(0)=X(L)=0,
e temporal
T''(t)+T'(t)+(1+alpha^2lambda),T(t)=0

Passo 3

O problema em X com Dirichlet leva aos autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpi xLr), lambdan=l(tfracnpiLr)^2, n=1,2,3,dots
essas funções formam base ortonormal em [0,L].

Passo 4

Para cada lambdan, o ODE em T é
T''+T'+l(1+alpha^2lambdanr)T=0
A equação característica
r^2+r+(1+alpha^2lambdan)=0
tem discriminante
De<a=1-4(1+alpha^2lambdan)=-l(4alpha^2lambdan+3r)<0
Definindo
Omegan=raiz4alpha^2lambdan+3, omegan=tfracOmegan2,
as raízes são r=(-1pm iOmegan)/2 e a solução geral é
Tn(t) =e^-t/2l(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r)

Passo 5

A solução geral da PDE é combinação linear
u(x,t) =sumn=1^infty e^-t/2l(Ancos(omegan t)+Bnsin(omegan t)r) sin!l(tfracnpi xLr)

Passo 6

Aplicando u(x,0)=f(x)
sumn=1^infty Ansin!l(tfracnpi xLr)=f(x) Longrightarrow An=2Lintegral0^Lf(s)sin!l(tfracnpi sLr),ds
Aplicando partialtu(x,0)=0 faz
sumn=1^inftyl(-tfrac12An+omegan Bnr) sin!l(tfracnpi xLr)=0 Longrightarrow Bn=An2omegan

Resposta

A solução formal do problema é
u(x,t) =sumn=1^infty An,e^-t/2l(cos(omegan t)+tfrac12omegansin(omegan t)r) sin!l(tfracnpi xLr),
em que
An=2Lintegral0^Lf(s)sin!l(tfracnpi sLr),ds, omegan=12raiz4alpha^2l(tfracnpiLr)^2+3

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