Exercício 1. O problema do telégrafo. Use o método da separação de variáveis para derivar uma solução formal para o problema do telégrafo:
onde
para
, e
e
para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação do telégrafo
com condições de contorno homogêneas
e condições iniciais
O método exigido é separar
, levando a dois ODEs, um espacial e outro temporal, ligados por um parâmetro de separação
.
Passo 2
Supondo
substituímos na PDE e dividimos por
, obtendo
Isso gera dois problemas:
Espacial
Espacial
e temporal
Passo 3
O problema em
com Dirichlet leva aos autofunções
essas funções formam base ortonormal em
.
Passo 4
Para cada
, o ODE em
é
A equação característica
tem discriminante
Definindo
as raízes são
e a solução geral é
Passo 5
A solução geral da PDE é combinação linear
Passo 6
Aplicando
dá
Aplicando
faz
Resposta
A solução formal do problema é
em que